Физический маятник

Физи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Физический маятник.
${\displaystyle O}$ — ось подвеса;
${\displaystyle N}$ — реакция оси подвеса;
${\displaystyle G}$ — центр тяжести;
${\displaystyle O'}$ — центр качания;
${\displaystyle \lambda }$ — приведённая длина;
${\displaystyle \theta }$ — угол отклонения маятника от равновесия;
${\displaystyle \alpha }$ — начальный угол отклонения маятника;
${\displaystyle m}$ — масса маятника;
${\displaystyle h}$ — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса, по теореме Штейнера:

${\displaystyle I=I_{0}+mh^{2}=m\left(r^{2}+h^{2}\right)}$,

где ${\displaystyle I_{0}}$ — момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести; ${\displaystyle r}$ — эффективный радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Динамическое уравнение произвольного вращения твёрдого тела:

${\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-M_{s}}$,

где ${\displaystyle M_{s}}$ — суммарный момент сил, действующих на тело относительно оси вращения.

${\displaystyle M_{s}=M+M_{f}}$,

где ${\displaystyle M}$ — момент сил, вызванный силой тяжести; ${\displaystyle M_{f}}$ — момент сил, вызванный силами трения среды.

Момент, вызванный силой тяжести, зависит от угла отклонения тела от положения равновесия:

${\displaystyle M=mgh\sin \theta }$.

Если пренебречь сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести:

${\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgh\sin \theta }$.

Если разделить обе части уравнения на ${\displaystyle h}$ и положить

${\displaystyle \lambda ={\frac {r^{2}+h^{2}}{h}}={\frac {r^{2}}{h}}+h}$,

получим:

${\displaystyle \lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\sin \theta }$.

Такое уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной ${\displaystyle \lambda }$. Величина ${\displaystyle \lambda }$ называется приведённой длиной физического маятника.

Центр качания физического маятника. Теорема Гюйгенса

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести, точку на расстоянии ${\displaystyle \lambda }$ от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром тяжести. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен ${\displaystyle I=m\lambda ^{2}}$, а момент силы тяжести относительно той же оси ${\displaystyle -mg\lambda \sin \theta }$. При этом уравнение движения не изменится.

Согласно теореме Гюйгенса,

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Вычислим приведённую длину для нового маятника:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {r^{2}}{r^{2}/h}}+{\frac {r^{2}}{h}}=h+{\frac {r^{2}}{h}}=\lambda }$.

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

Период колебаний физического маятника

Наиболее общий случай

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.

Для этого умножим левую ${\displaystyle \lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=\lambda {\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)}$ и правую часть этого уравнения на ${\displaystyle d\theta }$. Тогда:

${\displaystyle \lambda {\frac {d\theta }{dt}}d\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)=-g\sin \theta \,d\theta }$.

Интегрируя это уравнение, получаем:

${\displaystyle \lambda \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}=2g\cos \theta +C}$,

где ${\displaystyle C}$ — произвольная постоянная. Её можно найти из условия, что в ситуациях, когда ${\displaystyle \theta =\pm \alpha }$, должно быть ${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=0}$ (${\displaystyle \alpha }$ — максимальный угол отклонения). Получаем:

${\displaystyle C=-2g\cos \alpha .}$

Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=2{\sqrt {\frac {g}{\lambda }}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}.}$

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{\lambda }}}t=\int \limits _{0}^{\frac {\theta }{2}}{\frac {d\left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}}$.

Удобно сделать замену переменной полагая ${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin \varphi }$. Тогда искомое уравнение принимает вид:

${\displaystyle t={\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}={\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}F\left(\varphi \setminus \alpha /2\right).}$

Здесь ${\displaystyle F\left(\varphi \setminus \alpha \right)}$ — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\,\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}=4{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\,K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right).}$

Здесь ${\displaystyle K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)}$ — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}.}$

Период малых колебаний физического маятника

Если ${\displaystyle \alpha \ll 1}$ — случай малых максимальных угловых отклонений от равновесия ${\displaystyle |\theta |<\alpha }$ — то ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$ так как разложение синуса в ряд Маклорена ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta -\theta ^{3}/3\dots }$ и уравнения движения переходит в уравнение гармонического осциллятора без трения:

${\displaystyle \lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\theta .}$

Период колебания маятника в этом случае:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}.}$

В иной формулировке: если амплитуда колебаний ${\displaystyle \alpha }$ мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближённо равен единице. Такой интеграл легко берётся, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgh}}}.}$

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах отклонения до 1 радиана (≈57°):

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right)={\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left(9-\cos {\alpha }\right).}$

См. также

• Математический маятник
• Маятник Дубошинского

Ссылки

• маятник — статья из Большой советской энциклопедии.