Сепаратриса

Сепаратри́са — линия на фазовой плоскости, разделяющая области с разным характером решений дифференциального уравнения[1][2][3]. Сепаратрисы начинаются и заканчиваются в седловых стационарных точках, либо на бесконечности. Сепаратриса может разделять области, например, колебательного и вращательного движения, либо отделять область регулярного движения от хаотического.

Фазовая плоскость маятника.

Пример: математический маятник

Простым примером фазового пространства с сепаратрисой является математический маятник. Его движение описывается следующим уравнением:

${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0}$,

где ${\displaystyle \ell }$ — длина маятника, ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения, ${\displaystyle \theta }$ угол отклонения от вертикали. В такой системе, вследствие сохранения энергии, гамильтониан является интегралом движения:

${\displaystyle H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta =inv}$.

Фазовые траектории зависят от значения H. При ${\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$ решений нет, поскольку угол ${\displaystyle \theta }$ и его производная ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ должны быть вещественными. При ${\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}}$ фазовые траектории имеют замкнутый вид, что соответствует финитному колебательному движению маятника. Наконец, при ${\displaystyle H>{\frac {g}{\ell }}}$ фазовые тракетории незамкнуты, маятник совершает вращательное движение. Между двумя областями с разным характером движения имеется сепаратриса, соответствующая ${\displaystyle H={\frac {g}{\ell }}}$. Внутри сепаратрисы движение колебательное, и период растёт с ростом значения H (т.е. с амплитудой). Движение по сепаратрисе происходит за бесконечное время, маятник замедляется при приближении к седловой точке[1].

См. также

• Фазовая плоскость
• Нелинейная динамика

Примечания

1. В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения (рус.). — Москва: Издательство МЦНМО, 2012. — 344 с.
2. Большая российская энциклопедия: Сепаратриса
3. Temple H. Fay & Stephan V. Joubert. Separatrices // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. — 2010. — Т. 41, вып. 3. — С. 412-418. — doi:10.1080/00207390903564637.