Локально конечная группа

В математике, в области теории групп, локально конечная группа — это группа, определенным образом (как индуктивный предел) конструирующаяся из конечных групп. Как и для конечных групп, для локально конечных групп изучаются подгруппы Силова, подгруппы Картера и т. п.

Определения

Чаще всего употребляются следующие определения:

Локально конечной группой называется группа, каждая конечно порожденная подгруппа которой является конечной.

Локально конечной группой называется группа, у которой каждое конечное подмножество содержится в конечной подгруппе.

Эти определения равносильны.

Примеры

Примеры:

• Конечная группа является локально конечной.
• Прямая сумма конечных групп является локально конечной[1].
• Квазициклическая группа является локально конечной.
• Гамильтонова группа является локально конечной.
• Периодическая линейная группа является локально конечной[2].
• Разрешимая периодическая группа является локально конечной[3].

Свойства

Теорема Шмидта: класс локально конечных групп замкнут относительно взятия подгрупп, факторгрупп и расширений[4].

У всякой группы единственная максимальная локально конечная подгруппа[5].

Всякая бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелеву подгруппу[6].

Если локально-конечная группа содержит конечную максимальную p-подгруппу, то все её максимальные p-подгруппы сопряжены, причём если их количество конечно, то оно сравнимо с 1 по модулю p (см. также Теоремы Силова).

Если каждая счётная подгруппа локально конечной группы содержит не более чем счётное количество максимальных p-подгрупп, то все её максимальные p-подгруппы сопряжены[4].

См. также

• Задача Бёрнсайда

Примечания

1. Robinson, 1996, p. 443.
2. Curtis, Charles; Reiner, Irving (1962), Representation Theory of Finite Groups and Associated Algebras, John Wiley & Sons, pp. 256–262
3. .Клячко, Антон Александрович (2016), Спецкурс по теории групп (PDF), pp. 23–24, Архивировано (PDF) 15 ноября 2017, Дата обращения: 24 января 2018 Источник  (неопр.). Дата обращения: 24 января 2018. Архивировано 15 ноября 2017 года.
4. Robinson, 1996, p. 429.
5. Robinson, 1996, p. 436.
6. Robinson, 1996, p. 432.

Ссылки

• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6