Лемма Соллертинского

Ле́мма Соллерти́нского — утверждение проективной геометрии.

Пусть ${\displaystyle P}$ — произвольная точка и ${\displaystyle f}$ — проективное преобразование. Тогда множество точек пересечения ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle f(l)}$, где ${\displaystyle l}$ — прямая, проходящая через ${\displaystyle P}$, есть коника, проходящая через точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle f(P).}$

Доказательство

Доказательство

Пусть ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — прямые, проходящие через точку ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ — точки пересечения ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle f(a)}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle f(b)}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle f(c)}$. Пять точек ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle f(P)}$ определяют конику, притом единственную. Пусть вторая точка пересечения прямой ${\displaystyle d}$, проходящей через ${\displaystyle P}$, с этой коникой, ${\displaystyle D'}$, а точка пересечения прямой ${\displaystyle f(d)}$ с этой коникой, ${\displaystyle D''}$. Тогда равны следующие двойные отношения: ${\displaystyle (A;B;C;D')=(a;b;c;d)=(f(a);f(b);f(c);f(d))=(A,B,C,D'')}$. Значит, ${\displaystyle D'=D''}$, то есть прямые ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle f(d)}$ переекаются на той же конике. В силу произвольности выбора прямой ${\displaystyle d}$ на ней лежат все такие точки пересечения, что и требовалось.

История

Лемма названа в честь петербургского математика Н. Соллертинского, использовавшего её при доказательстве теоремы Сонда́ в 1896 году.[1] На самом деле это утверждение было известно до Соллертинского; приписывается оно ещё Якобу Штейнеру.

Частные случаи, обобщения и следствия

• Если ${\displaystyle f}$ — движение плоскости, сохраняющее ориентацию фигур, то полученная коника будет окружностью. Это равносильно теореме о вписанном угле.
• Если ${\displaystyle f}$ — движение плоскости, изменяющее ориентацию фигур, то полученная коника будет равносторонней гиперболой. Это следует из того, что описанная коника проходит через ортоцентр треугольника тогда и только тогда, когда она является равносторонней гиперболой.
• Двойственное к лемме Соллертинского утверждение звучит так:

Пусть ${\displaystyle l}$ — произвольная прямая и ${\displaystyle f}$ — проективное преобразование. Тогда все прямые ${\displaystyle Pf(P)}$, где ${\displaystyle P}$ — точка, лежащая на ${\displaystyle l}$, касаются коники, касающейся прямых ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle f(l).}$

• Обратно, всякое гармоническое соответствие двух прямых на плоскости (соответствие между их точками, сохраняющее двойные отношения) получается таким образом: выбирается коника ${\displaystyle Q}$, касающаяся обеих прямых ${\displaystyle \ell ,\ell '}$, в точке ${\displaystyle x\in \ell }$ проводится касательная к ${\displaystyle Q}$, отличная от ${\displaystyle \ell }$, и берется точка ее пересечения с ${\displaystyle \ell '}$.
• Если ${\displaystyle \ell ,\ell '}$ — две скрещивающиеся прямые в пространстве, и ${\displaystyle f\colon \ell \to \ell '}$ — соответствие, сохраняющее двойные отношения, то прямая ${\displaystyle xf(x)}$ заметает некую квадрику. Они будут составлять одно из двух семейств прямых на ней, а ${\displaystyle \ell }$ и ${\displaystyle \ell '}$ будут относиться к другому семейству.

Гипербола Киперта

• Пусть на сторонах произвольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ построили во внешнюю (внутреннюю) сторону подобные равнобедренные треугольники ${\displaystyle ABC'}$, ${\displaystyle ACB'}$, ${\displaystyle BCA'}$. Тогда прямые ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$, ${\displaystyle CC'}$ пересекаются в одной точке, лежащей на описанной гиперболе, проходящей через центроид и ортоцентр — гиперболе Киперта.
• Если два треугольника ортологичны, причём центры ортологии совпадают, то они перспективны.
  • Это утверждение Соллертинский использовал при доказательстве теоремы Сонда.
  • Из него также следует, что если два треугольника полярны, то они перспективны.

Примечания

1. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — М.: МЦНМО, 2011. — 148 с. — ISBN 978-5-94057-732-4.