Гипербола Киперта
Гипербола Киперта треугольника ABC . Гипербола Киперта проходит через вершины (A, B, C ), ортоцентр (H ) и центроид (G ) треугольника.
Гипе́рбола Ки́перта — гипербола , определяемая по данному треугольнику . Если последний представляет собой треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через его вершины, ортоцентр и центроид .
Определение через изогональное сопряжение
Гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через точку Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника.
Определение через треугольники в трилинейных координатах
Точка на гиперболе Киперта.
Определение через треугольники в трилинейных координатах [ 1] :
Если три треугольника
X
B
C
{\displaystyle XBC}
,
Y
C
A
{\displaystyle YCA}
и
Z
A
B
{\displaystyle ZAB}
построены на сторонах треугольника
A
B
C
{\displaystyle ABC}
, являются подобными , равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые
A
X
{\displaystyle AX}
,
B
Y
{\displaystyle BY}
и
C
Z
{\displaystyle CZ}
пересекаются в одной точке
N
{\displaystyle N}
. Тогда гипербола Киперта может быть определена виде геометрического места точек
N
{\displaystyle N}
(см. рис.).
Если общий угол при основании равен
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
, то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты:
X
(
− − -->
sin
-->
θ θ -->
:
sin
-->
(
C
+
θ θ -->
)
:
sin
-->
(
B
+
θ θ -->
)
)
{\displaystyle X(-\sin \theta :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ))}
Y
(
sin
-->
(
C
+
θ θ -->
)
:
− − -->
sin
-->
θ θ -->
:
sin
-->
(
A
+
θ θ -->
)
)
{\displaystyle Y(\sin(C+\theta ):-\sin \theta :\sin(A+\theta ))}
Z
(
sin
-->
(
B
+
θ θ -->
)
:
sin
-->
(
A
+
θ θ -->
)
:
− − -->
sin
-->
θ θ -->
)
{\displaystyle Z(\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta )}
(
cosec
-->
(
A
+
θ θ -->
)
:
cosec
-->
(
B
+
θ θ -->
)
:
cosec
-->
(
C
+
θ θ -->
)
)
{\displaystyle (\operatorname {cosec} (A+\theta ):\operatorname {cosec} (B+\theta ):\operatorname {cosec} (C+\theta ))}
.
Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатах
Геометрическое место точек
N
{\displaystyle N}
при изменении угла при основании треугольников
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
между
− − -->
π π -->
/
2
{\displaystyle -\pi /2}
и
π π -->
/
2
{\displaystyle \pi /2}
является гиперболой Киперта с уравнением
sin
-->
(
B
− − -->
C
)
x
+
sin
-->
(
C
− − -->
A
)
y
+
sin
-->
(
A
− − -->
B
)
z
=
0
{\displaystyle {\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0}
,
где
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
,
z
{\displaystyle z}
— трилинейные координаты точки
N
{\displaystyle N}
в треугольнике.
Известные точки, лежащие на гиперболе Киперта
Среди точек, лежащих на гиперболе Киперта, имеются такие важные точки треугольника[ 2] :
Значение
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
Точка
N
{\displaystyle N}
0
{\displaystyle 0}
G
{\displaystyle G}
, центроид треугольника
A
B
C
{\displaystyle ABC}
(X2)
π π -->
/
2
{\displaystyle \pi /2}
(или
− − -->
π π -->
/
2
{\displaystyle -\pi /2}
)
O
{\displaystyle O}
, ортоцентр треугольника
A
B
C
{\displaystyle ABC}
(X4)
arctg
-->
[
tg
-->
(
A
/
2
)
tg
-->
(
B
/
2
)
tg
-->
(
C
/
2
)
]
{\displaystyle \operatorname {arctg} [\operatorname {tg} (A/2)\operatorname {tg} (B/2)\operatorname {tg} (C/2)]}
[ 3]
Центр Шпикера (X10)
π π -->
/
4
{\displaystyle \pi /4}
Внешняя точка Вектена (Vecten points) (X485)
− − -->
π π -->
/
4
{\displaystyle -\pi /4}
Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486)
π π -->
/
6
{\displaystyle \pi /6}
N
1
{\displaystyle N_{1}}
, первая точка Наполеона (X17)
− − -->
π π -->
/
6
{\displaystyle -\pi /6}
N
2
{\displaystyle N_{2}}
, вторая точка Наполеона (X18)
π π -->
/
3
{\displaystyle \pi /3}
F
1
{\displaystyle F_{1}}
, первая точка Ферма (X13)
− − -->
π π -->
/
3
{\displaystyle -\pi /3}
F
2
{\displaystyle F_{2}}
, вторая точка Ферма (X14)
− − -->
A
{\displaystyle -A}
(если
A
<
π π -->
/
2
{\displaystyle A<\pi /2}
)
π π -->
− − -->
A
{\displaystyle \pi -A}
(если
A
>
π π -->
/
2
{\displaystyle A>\pi /2}
)
Вершина
A
{\displaystyle A}
− − -->
B
{\displaystyle -B}
(если
B
<
π π -->
/
2
{\displaystyle B<\pi /2}
)
π π -->
− − -->
B
{\displaystyle \pi -B}
(если
B
>
π π -->
/
2
{\displaystyle B>\pi /2}
)
Вершина
B
{\displaystyle B}
− − -->
C
{\displaystyle -C}
(если
C
<
π π -->
/
2
{\displaystyle C<\pi /2}
)
π π -->
− − -->
C
{\displaystyle \pi -C}
(если
C
>
π π -->
/
2
{\displaystyle C>\pi /2}
)
Вершина
C
{\displaystyle C}
Перечень точек, лежащих на гиперболе Киперта
Гипербола Киперта проходит через следующие центры треугольника X(i)[ 3] :
для i=2, (Центроид треугольника ),
i=4 (Ортоцентр ),
i=10 (Центр Шпикера ; то есть, инцентр треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника ABC[ 1] ),
i=13 (первая точка Ферма ), i=14 (вторая точка Ферма ),
i=17 (первая точка Наполеона ), i=18 (вторая точка Наполеона ),
i=76 (третья точка Брокара ),
i=83 (точка, изогонально сопряжённая серединной точке между точками Брокара[ 1] ),
i=94, 96,
i=98 (Точка Тарри =Tarry point),
i=226, 262, 275, 321,
i=485 (Внешняя точка Вектена ), i=486 (Внутренняя точка Вектена ),
i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
i=1139 (внутренняя точка пятиугольника=inner pentagon point), i=1140 (внешняя точка пятиугольника=outer pentagon point),
i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
i=2671 (первая точка золотого арбелоса=first golden arbelos point),
i=2672 (вторая точка золотого арбелоса=second golden arbelos point),
i=2986, 2996
Обобщение теоремы Лестера в виде теоремы Б. Гиберта (2000)
Теорема Б. Гиберта (2000) обобщает теорему об окружности Лестера , а именно: любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера , проходит через точки Ферма [ 4] [ 5] .
История
Название данная гипербола получила в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846—1934)[ 1] .
Свойства
См. также
Примечания
↑ 1 2 3 4 Eddy, Fritsch, 1994 , p. 188—205.
↑ Акопян А. В. , Заславский А. А. . Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 125—126.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
↑ B. Gibert (2000): [ Message 1270] . Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.
↑ Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations Архивная копия от 7 октября 2021 на Wayback Machine . Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. MR : 2868943
Литература
Eddy R. H., Fritsch R. . The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Math Magazine , 1994, 67 . — P. 188—205.