Лемма Нётер о нормализации

Лемма Нётер о нормализации — результат коммутативной алгебры играющий важную роль в основаниях алгебраической геометрии. Доказанa Эмми Нётер в 1926 году.

Эта лемма используется в доказательстве теоремы Гильберта о нулях. Также она является важным инструментом изучения размерности Крулля.

Формулировка

Для любого поля k и любой конечно порожденной коммутативной k -алгебры A существует неотрицательное целое число d и алгебраически независимые элементы y ₁, y ₂, ..., y _d в A такие, что A конечно порожденный модуль над кольцом многочленов S = k[ y ₁, y ₂, ..., y _d ].

Замечания

• Целое число d определяется однозначно; это размерность Крулля кольца A.
  • В случае если A является областью целостности, то d также является степенью трансцендентности поля частных A над k.

Геометрическая интерпретация

За S можно взять координатное кольцо d-мерного аффинного пространства ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}$, а за A — координатное кольцо некоторого другого d -мерного аффинного многообразия X. Тогда отображение включения ${\displaystyle S\to A}$ индуцирует сюръективный конечный морфизм аффинных многообразий ${\displaystyle X\to \mathbb {A} _{k}^{d}}$. Вывод состоит в том, что любое аффинное многообразие является разветвленным накрытием аффинного пространства.

Если поле k бесконечно, то такое разветвленное накрытие можно построить, взяв проекцию общего положения из аффинного пространства, содержащего X, на d-мерное подпространство.

Литература

• Noether, Emmy (1926), "Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen: 28–35, Архивировано из оригинала 8 марта 2013 Архивная копия от 8 марта 2013 на Wayback Machine
• Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. — М.: МЦНМО, 2007.