Кусочно-заданная функция

График функции модуля вещественной переменной — пример кусочно-заданной (кусочно-линейной) функции

Кусо́чно-за́данная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на множестве вещественных чисел, которая задана отдельной формулой (или другим способом задания функции) на каждом из интервалов, составляющих область её определения.

Кусочно-аффинная функция - это числовая функция от одной переменной такая, что всю её область определения можно "разделить" на промежутки так, что на внутренности каждого из промежутков функция аффинная.

Формальное определение и задание

Пусть заданы ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}}$ — точки смены задания функции.

Кусочно-заданные функции обычно задают на каждом из интервалов ${\displaystyle (-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty )}$ отдельно. Формально записывают это в виде:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\quad x<x_{1}\\f_{1}(x),\quad x_{1}<x<x_{2}\\\cdots \\f_{n}(x),\quad x_{n}<x\end{cases}}}$.

На некоторых из интервалов либо в некоторых точках в общем случае кусочно-заданная функция может быть не определена.

Виды кусочно-заданных функций

Запрос «кусочно-постоянная функция»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

• Если все функции — постоянные, то ${\displaystyle f(x)}$ — кусочно-постоянная функция.
• Если все функции ${\displaystyle f_{i}(x)}$ являются линейными функциями, то ${\displaystyle f(x)}$ — кусочно-линейная функция.
• Если все функции ${\displaystyle f_{i}(x)}$ являются непрерывными функциями, то ${\displaystyle f(x)}$ — кусочно-непрерывная функция. При этом сама она может не являться непрерывной.
• Если все функции ${\displaystyle f_{i}(x)}$ являются дифференцируемыми функциями, то ${\displaystyle f(x)}$ — кусочно-гладкая функция. При этом точки смены функций могут быть, а могут и не быть точками излома.
• Если все функции ${\displaystyle f_{i}(x)}$ являются монотонными функциями, то ${\displaystyle f(x)}$ — кусочно-монотонная функция. При этом на соседних интервалах знак первой производной может быть разный, то есть нарастающие или падающие функции.

Примеры часто используемых кусочно-заданных функций

• Абсолютная величина (модуль) ${\displaystyle y=|x|}$.
• Функция знака ${\displaystyle y=\operatorname {sgn}(x)}$.
• Функция Хевисайда ${\displaystyle \theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}}$
• Кусочно-линейная функция.
• Сплайн.
• B-сплайн.