Курносый двадцатичетырёхъячейник

Курносый двадцатичетырёхъячейник
Ортогональная проекция в трёхмерное пространство — на гиперплоскость, проходящую через икосаэдрическую ячейку
Тип	Однородный многоячейник^[англ.]
Символ Шлефли	s{3,4,3} sr{3,3,4} s{3^1,1,1}
Ячеек	144
Граней	480
Рёбер	432
Вершин	96
Вершинная фигура	Трижды отсечённый икосаэдр

Курно́сый двадцатичетырёхъяче́йник — четырёхмерный многогранник, один из 47 непризматических выпуклых однородных многоячейников^[англ.] и один из 3 полуправильных многоячейников^[англ.] (так как составлен из двух разных видов платоновых тел).

Впервые описан в статье 1900 года Торольдом Госсетом^[англ.][1], который назвал многоячейник тетрикосаэдриком (tetricosahedric), поскольку его ячейки — тетраэдры и икосаэдры. Также известен как курносый икоситетрахор, полукурносый полиоктаэдр (англ. semi-snub polyoctahedron)[2].

Описание

Развёртка

Ограничен 144 трёхмерными ячейками — 120 правильными тетраэдрами и 24 правильными икосаэдрами. Каждая икосаэдрическая ячейка окружена восемью икосаэдрическими и двенадцатью тетраэдрическими. Тетраэдрические ячейки делятся на две группы: 24 из них окружены четырьмя тетраэдрическими, остальные 96 — тремя икосаэдрическими и тетраэдрической.

Его 480 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. 96 граней разделяют две икосаэдрических ячейки, 96 граней — две тетраэдрических, остальные 288 — икосаэдрическую и тетраэдрическую.

Имеет 432 ребра равной длины. На 288 рёбрах сходятся по три грани и по три ячейки (две икосаэдрических и тетраэдрическая), на остальных 144 — по четыре грани и по четыре ячейки (икосаэдрическая и три тетраэдрических).

Имеет 96 вершин. В каждой вершине сходятся по 9 рёбер, по 15 граней и по 8 ячеек (три икосаэдрических и пять тетраэдрических).

Курносый двадцатичетырёхъячейник можно получить из шестисотячейника, отсекши от того 24 икосаэдрических пирамиды — так, чтобы вместо них остались только их основания. Вершины полученного многоячейника — 96 из 120 вершин шестисотячейника (а удалённые 24 вершины образуют вершины обычного двадцатичетырёхъячейника); рёбра — 432 из 720 рёбер шестисотячейника; грани — 480 из 1200 граней шестисотячейника. Отсюда ясно, что у курносого двадцатичетырёхъячейника тоже существуют описанная и обе полувписанных трёхмерных гиперсферы, причём они совпадают с описанной и полувписанными гиперсферами исходного шестисотячейника.

В координатах

Курносый двадцатичетырёхъячейник с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными чётными перестановками наборов чисел ${\displaystyle \left(0;\;\pm 1;\;\pm \Phi ;\;\pm \Phi ^{2}\right),}$ где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения.

Начало координат ${\displaystyle \left(0;\;0;\;0;\;0\right)}$ будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его описанной и полувписанных гиперсфер.

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если курносый двадцатичетырёхъячейник имеет ребро длины ${\displaystyle a,}$ то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

${\displaystyle V_{4}=5\left({\frac {9}{4}}+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 22{,}4303399a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}=10\left(3+{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 66{,}5028154a^{3}.}$

Радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

${\displaystyle R=\Phi a={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}6180340a,}$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a,}$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\displaystyle \rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\approx 1{,}5115226a.}$

Вписать в курносый двадцатичетырёхъячейник гиперсферу — так, чтобы она касалась всех ячеек, — невозможно. Радиус наибольшей гиперсферы, которую можно поместить внутри курносого двадцатичетырёхъячейника с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех икосаэдрических ячеек в их центрах), равен

${\displaystyle r_{I}={\frac {1}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}3090170a.}$

Расстояние от центра многоячейника до любой тетраэдрической ячейки превосходит ${\displaystyle r_{I}}$ и равно

${\displaystyle r_{T}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10}}+2{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}4976762a.}$

Заполнение пространства

С помощью курносых двадцатичетырёхъячейников, шестнадцатиячейников и пятиячейников можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. статью в английской Википедии). Данное заполнение также было найдено Торольдом Госсетом.

Примечания

1. Thorold Gosset. On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions. — Messenger of Mathematics, vol. 29. — Macmillan, 1900. — pp. 43—48.
2. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — 2008, ISBN 978-1-56881-220-5. — p. 401.

Ссылки

• George Olshevsky. Print #11: Snub icositetrachoron net