Изопериметрическое отношение

Изопериметрическое отношение для простой замкнутой кривой на евклидовой плоскости равно отношению L^2/A, где L — длина кривой, а A — её площадь. Изопериметрическое отношение безразмерная величина и не изменяется при преобразованиях подобия.

Как следует из решения изопериметрической задачи, значение изопериметрического отношения минимально для окружности и равно 4π. Для любой другой кривой изопериметрическое отношение имеет большее значение.[1] Следовательно, изопериметрическое отношение можно использовать как показатель того, насколько кривая «отличается» от окружности.

Укорачивающий поток уменьшает изопериметрическое отношение любой гладкой выпуклой кривой таким образом, что если кривая в пределе становится точкой, то изопериметрическое отношение стремится к 4π.[2]

Для геометрических тел произвольной размерности d можно определить изопериметрическое отношение как B^d/V^d − 1, где B равно площади поверхности тела (то есть мере его границы), V равно объёму тела (то есть мере внутренней области).[3] Другими связанными по смыслу величинами являются константа Чигера для риманова многообразия и константа Чигера для графов.[4]

Примечания

1. Berger, Marcel (2010), Geometry Revealed: A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry, Springer-Verlag, pp. 295–296, ISBN 9783540709978.
2. Gage, M. E. (1984), "Curve shortening makes convex curves circular", Inventiones Mathematicae, 76 (2): 357–364, doi:10.1007/BF01388602, MR 0742856.
3. Chow, Bennett; Knopf, Dan (2004), The Ricci Flow: An Introduction, Mathematical surveys and monographs, vol. 110, American Mathematical Society, p. 157, ISBN 9780821835159.
4. Grady, Leo J.; Polimeni, Jonathan (2010), Discrete Calculus: Applied Analysis on Graphs for Computational Science, Springer-Verlag, p. 275, ISBN 9781849962902.