Выпуклая кривая

Выпуклая кривая — это граница выпуклого множества.

Выпуклая кривая — кривая на евклидовой плоскости, которая лежит по одну сторону от любой касательной прямой.

Граница ограниченного выпуклого множества всегда является выпуклой кривой.

Определения

Определение с помощью опорных прямых

Любая прямая ${\displaystyle L}$ делит евклидову плоскость на две полуплоскости, в объединении дающие всю плоскость, а пересечение которых совпадает с ${\displaystyle L}$, кривая ${\displaystyle C}$ «лежит по одну сторону от ${\displaystyle L}$», если она полностью содержится в одной из этих полуплоскостей. Плоская кривая называется выпуклой, если она лежит по одну сторону от любой её касательной прямой[1]. Другими словами, выпуклая кривая является кривой, которая имеет опорную прямую в каждой точке кривой.

Определение с помощью выпуклых множеств

Выпуклую кривую можно определить как границу выпуклого множества евклидовой плоскости. Это означает, что выпуклая кривая всегда замкнута (то есть не имеет конечных точек)[2].

Иногда используется более слабое определение, в котором выпуклая кривая является подмножеством границы выпуклого множества. В этом варианте выпуклая кривая может иметь конечные точки.

Строго выпуклая кривая

Строго выпуклая кривая — выпуклая кривая, не содержащая отрезков. Эквивалентно, строго выпуклая кривая — это кривая, которая пересекает любую прямую максимум в двух точках[3][4], или простая замкнутая кривая в выпуклой позиции^[англ.], что означает, что никакая точка кривой не может быть представлена в виде выпуклой комбинации любого другого подмножества её точек.

Свойства

Любая выпуклая кривая имеет хорошо определённую конечную длину. Таким образом, выпуклая кривая является подмножеством спрямляемых кривых[2].

Согласно теореме о четырёх вершинах любая кривая имеет по меньшей мере четыре вершины, точки, в которых достигается локальный минимум или максимум кривизны[4][5].

Параллельные касательные

Замкнутая кривая ${\displaystyle C}$ является выпуклой в том и только в том случае, когда не существует трёх различных точек на кривой ${\displaystyle C}$, таких, что касательные в этих точках параллельны.

Монотонность угла наклона

Кривая называется простой, если она не пересекает себя. Замкнутая регулярная плоская простая кривая ${\displaystyle C}$ выпукла тогда и только тогда, когда её кривизна либо всегда положительна, либо всегда отрицательна. То есть, её угол наклона (угол касательной к кривой по отношению к оси) является слабо монотонной функцией параметризации кривой[1].

Связанные фигуры

Гладкие выпуклые кривые с осевой симметрией иногда называют овалами[6]. Однако в конечной проективной геометрии овалы^[англ.] определяются как множества, в которых любая точка имеет единственную касательную, что в евклидовой геометрии верно в случае гладких строго выпуклых замкнутых кривых.

См. также

• Список тем по выпуклости^[англ.]

Примечания

1. A. Gray. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces. — 2nd. — New-York: CRC Press, 1997. — С. 163-165. — ISBN 0849371643.
2. В. А. Топоногов. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: учебное пособие для вузов. — М.: Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.
3. J. Dieudonne. Treatise on Analysis. — New York: Academic Press, 1988. — Т. IV. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 0-12-215504-1(v.4).
4. Christian Bär. Elementary Differential Geometry. — Cambridge University Press, 2010. — С. 49. — ISBN 9780521896719.
5. D. DeTruck, H. Gluck, D. Pomerleano, D.S. Vick. The four vertex theorem and its converse // Notices of the American Mathematical Society. — 2007. — Т. 54, вып. 2. — С. 9268. — Bibcode: 2006math......9268D. — arXiv:math/0609268.
6. Steven Schwartzman. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. — Mathematical Association of America, 1994. — С. 156. — (MAA Spectrum). — ISBN 9780883855119.