Опорная прямая

Пара опорных прямых в одной точке фигуры.

Опорная прямая — прямая, содержащая точку фигуры, но не разделяющая какие-либо две точки на ней[1]. Другими словами, C полностью лежит в одной из двух замкнутых полуплоскостей, на которые делит плоскость прямая L, и хотя бы одна точка кривой принадлежит L.

Свойства опорной прямой для кривой

В данной точке кривой может быть множество опорных прямых. Если существует касательная в данной точке, то она является единственной опорной прямой в этой точке, при условии что прямая не разделяет кривую.

Обобщения

Понятие опорной прямой также можно ввести для плоских фигур. В этом случае опорная прямая может быть определена как прямая, имеющая общие точки с границей фигуры, но не с внутренностью[2].

Критичные опорные прямые

Если две связные плоские фигуры имеют выпуклые оболочки, расстояние между которыми положительно, то существует в точности четыре общие опорные прямые, касающиеся одновременно[англ.] эти две выпуклые оболочки. Две из этих опорных прямых разделяют фигуры и они лежат в различных гиперплоскостях. Эти опорные прямые называются критичными[2].

При других условиях может быть больше или меньше опорных прямых, даже если между фигурами ненулевое расстояние. Например, если одна фигура — кольцо, в котором находится другая фигура, то не существует общих опорных прямых, в то время как две фигуры, состоящие из пар маленьких кругов, находящихся в разных углах квадрата, имеют 16 опорных прямых.

Свойства опорных прямых для фигур

  • К каждой ограниченной выпуклой фигуре можно провести в точности две опорные прямые, параллельные данному направлению[3].
  • Через каждую граничную точку выпуклой фигуры проходит по крайней мере одна опорная прямая[3].
  • Если через каждую граничную точку фигуры проходит по крайней мере одна опорная прямая, то фигура является выпуклой[3].
  • Наибольшее расстояние между точками плоской фигуры называется диаметром. Легко показать, что диаметр выпуклой фигуры равен наибольшему расстоянию между параллельными опорными прямыми этой фигуры[3].

Примечания

  1. ↑ Herbert Busemann. The geometry of geodesics. — New York: Academic Press Inc, 1955. — С. 158.
  2. ↑ 1 2 Michel M. Deza, Elena Deza. Encyclopedia of Distances. — Berlin, Heidelberg: Springer, 2009. — С. 179. — ISBN 978-3-642-00233-5.
  3. ↑ 1 2 3 4 И. М. Яглом, В. Г. Болтянский. Выпуклые фигуры. — Москва, Ленинград: Государственное издательство Технико-Теоретической литературы, 1951. — С. 19—25. — (Библиотека математического кружка).