Додекаэдрическая пирамида

Додекаэдрическая пирамида
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) правильной додекаэдрической пирамиды в трёхмерное пространство
Тип	Многогранная пирамида^[англ.]
Символ Шлефли	( ) ∨ {5,3}
Ячеек	13
Граней	42
Рёбер	50
Вершин	21
Двойственный политоп	Икосаэдрическая пирамида

Додекаэдри́ческая пирами́да — четырёхмерный многогранник (многоячейник): многогранная пирамида^[англ.], имеющая основанием додекаэдр.

Ограничена 13 трёхмерными ячейками — 12 пятиугольными пирамидами и 1 додекаэдром. Додекаэдрическая ячейка окружена всеми двенадцатью пирамидальными; каждая пирамидальная ячейка окружена додекаэдрической и пятью пирамидальными.

У додекаэдрической пирамиды 42 грани — 12 пятиугольников и 30 треугольников. Каждая пятиугольная грань разделяет додекаэдрическую и пирамидальную ячейки, каждая треугольная — две пирамидальных.

Имеет 50 рёбер. На каждом ребре сходятся по три грани и по три ячейки: для 30 рёбер это две пятиугольных и треугольная грани, додекаэдрическая и две пирамидальных ячейки; для остальных 20 рёбер — три треугольных грани, три пирамидальных ячейки.

Имеет 21 вершину. В 20 вершинах сходятся по 4 ребра, по 6 граней (три пятиугольных, три треугольных) и по 4 ячейки (додекаэдрическая, три пирамидальных); в 1 вершине — 20 рёбер, все 30 треугольных граней и все 12 пирамидальных ячеек.

Ортогональная двумерная проекция вращающейся правильной додекаэдрической пирамиды, высота которой равна длине ребра основания

В отличие от многогранных пирамид, построенных на четырёх других платоновых телах, додекаэдрическая пирамида не может иметь все рёбра одинаковой длины.

Доказательство

Пусть все рёбра додекаэдрического основания равны ${\displaystyle a,}$ все боковые рёбра пирамиды равны ${\displaystyle b.}$

Тогда пирамида — правильная, и проекция её бокового ребра на гиперплоскость основания есть радиус описанной вокруг основания сферы ${\displaystyle R_{D}.}$ А поскольку проекция меньше наклонной, ${\displaystyle b>R_{D}.}$

Но в правильном додекаэдре ${\displaystyle R_{D}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}40a>a;}$ значит, ${\displaystyle b>a,}$ и равняться эти два числа не могут.

Ссылки

• George Olshevsky. Pyramid / Glossary for Hyperspace