Гамильтонова теория поля

В применении к классической теории поля известная симплектическая гамильтонова теория принимает форму повременного гамильтонова формализма на бесконечномерном фазовом пространстве, где каноническими переменными являются полевые функции в каждый отдельный момент времени.[1] Такой гамильтонов формализм используется в квантовой теории поля и, в частности, при квантовании калибровочных полей, но он не описывает классические поля подобно лагранжеву формализму.

Действительным гамильтоновым аналогом лагранжевой классической теории поля является ковариантная гамильтонова теория поля, где канонические моменты ${\displaystyle p_{i}^{\mu }}$ соответствуют производным полей по всем пространственно-временным координатам ${\displaystyle x^{\mu }}$, а не только по времени.[2] Например, ковариантные уравнения Гамильтона эквивалентны уравнениям Эйлера — Лагранжа в случае гиперрегулярного лагранжиана. Гамильтонова теория поля развивается в вариантах Гамильтона — Де Дондера,[3] полисимплектического,[4] мультисимплектического[5] и ${\displaystyle k}$-симплектического[6] формализмов. Фазовым пространством гамильтоновой теории поля является полисимплектическое или мультисимплектическое многообразие.

В частности, неавтономная гамильтонова механика формулируется как гамильтонова теория поля на расслоениях над осью времени ${\displaystyle \mathbb {R} }$.[7]

Литература

1. Gotay, M., A multisymplectic framework for classical field theory and the calculus of variations. II. Space + time decomposition, in «Mechanics, Analysis and Geometry: 200 Years after Lagrange» (North Holland, 1991).
2. Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., «Advanced Classical Field Theory», World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7.
3. Krupkova, O., Hamiltonian field theory, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.
4. Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Covariant Hamiltonian equations for field theory, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv: hep-th/9904062.
5. Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometry of multisymplectic Hamiltonian first-order field theories, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.
6. Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., Gunther’s formalism (${\displaystyle k}$-symplectic formalism) in classical field theory: Skinner-Rusk approach and the evolution operator, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.
7. .Сарданашвили Г. А., Современные методы теории поля. 2. Геометрия и классическая механика, УРСС, 1998, ISBN 5-88417-139-0; arXiv: 0911.0411.

См. также

• Гамильтонова механика
• Симплектическое многообразие
• Классическая теория поля