Лагранжева система

В математике лагранжевой системой называется пара ${\displaystyle (Y,L)}$ гладкого расслоения ${\displaystyle Y\to X}$ и лагранжевой плотности ${\displaystyle L}$, которая определяет дифференциальный оператор Эйлера — Лагранжа, действующий на сечения расслоения ${\displaystyle Y\to X}$.

В классической механике многие динамические системы являются лагранжевыми. Конфигурационным пространством такой лагранжевой системы служит расслоение ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ над осью времени ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (в частности, ${\displaystyle Q=\mathbb {R} \times M}$, если система отсчёта фиксирована). В классической теории поля, все полевые системы являются лагранжевыми.

Лагранжева плотность ${\displaystyle L}$ (или просто лагранжиан) порядка ${\displaystyle r}$ определяется как ${\displaystyle n}$-форма, ${\displaystyle n=}$dim${\displaystyle X}$, на многообразии струй ${\displaystyle J^{r}Y}$ порядка ${\displaystyle r}$ сечений расслоения ${\displaystyle Y}$. Лагранжиан ${\displaystyle L}$ может быть введён как элемент вариационного бикомплекса дифференциальной градуированной алгебры ${\displaystyle O_{\infty }^{*}(Y)}$ внешних форм на многообразиях струй расслоения ${\displaystyle Y\to X}$. Оператор кограницы этого бикомплекса содержит вариационный оператор ${\displaystyle \delta }$, который, действуя на ${\displaystyle L}$, определяет ассоциированный оператор Эйлера — Лагранжа ${\displaystyle \delta L}$. Относительно координат ${\displaystyle (x^{\lambda },y^{i})}$ на расслоении ${\displaystyle Y}$ и соответствующих координат ${\displaystyle (x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})}$ (${\displaystyle \Lambda =(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k})}$, ${\displaystyle |\Lambda |=k\leq r}$) на многообразии струй ${\displaystyle J^{r}Y}$ лагранжиан ${\displaystyle L}$ и оператор Эйлера — Лагранжа имеют вид:

${\displaystyle L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})\,d^{n}x,}$

${\displaystyle \delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta _{i}{\mathcal {L}}=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\partial _{i}^{\Lambda }{\mathcal {L}},}$

где

${\displaystyle d_{\Lambda }=d_{\lambda _{1}}\cdots d_{\lambda _{k}},\qquad d_{\lambda }=\partial _{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\partial _{i}+\cdots ,}$

обозначают полные производные. Например, лагранжиан первого порядка и оператор Эйлера — Лагранжа второго порядка принимают форму

${\displaystyle L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\lambda }^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _{i}L=\partial _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\partial _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.}$

Ядро оператора Эйлера — Лагранжа задаёт уравнение Эйлера — Лагранжа ${\displaystyle \delta L=0}$.

Когомологии вариационного бикомплекса определяют так называемую вариационную формулу

${\displaystyle dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},}$

где

${\displaystyle d_{H}\phi =dx^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\phi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)}$

- полный дифференциал и ${\displaystyle \Theta _{L}}$ - эквивалент Лепажа лагранжиана ${\displaystyle L}$. Первая и вторая теоремы Нётер являются следствиями этой вариационной формулы.

Будучи обобщённым на градуированные многообразия, вариационный бикомплекс описывает градуированные лагранжевы системы четных и нечётных переменных.

В другом варианте лагранжиан, оператор Эйлера — Лагранжа и уравнения Эйлера — Лагранжа вводятся в рамках вариационного исчисления.

См. также

• Лагранжиан
• Вариационное исчисление
• Вариационный бикомплекс
• Уравнение Эйлера — Лагранжа
• Теорема Нётер
• Тождества Нётер
• Калибровочная симметрия (математика)

Литература

• Olver, P. Applications of Lie Groups to Differential Equations, 2ed (Springer, 1993) ISBN 0-387-94007-3
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., New Lagrangian and Hamiltonian Methods in Field Theory (World Scientific, 1997) ISBN 981-02-1587-8 (arXiv: 0908.1886)

Ссылки

• Sardanashvily, G., Graded Lagrangian formalism, Int. G. Geom. Methods Mod. Phys. 10 (2013) N5 1350016; arXiv: 1206.2508 (недоступная ссылка)