Вектор Римана — Зильберштейна

Вектор Римана-Зильберштейна (РЗ) - комплекснозначный трёхмерный вектор, описывающий электромагнитное поле:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +i\mathbf {H} ,~\mathbf {F} \in \mathbb {C} ^{3}}$,

где ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {H} }$ - напряжённости электрического и магнитного полей. ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {H} \in \mathbb {R} ^{3}}$. Здесь используется система единиц, в которой скорость света ${\displaystyle c=1}$.

Вектор Римана-Зильберштейна как функция

Естественным языком описания поля с использованием вектора РЗ служит бикватернионный формализм, хотя возможны и другие формулировки. Вектор РЗ определён для данного поля в каждой точке пространства и времени, т.е. является функцией пространственно-временной переменной ${\displaystyle Z}$:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} (Z),~Z=(t,\mathbf {r} )}$.

${\displaystyle Z}$ - бикватернион, составленный из временной ${\displaystyle t}$ и пространственной ${\displaystyle \mathbf {r} }$ переменных.

Свободное поле

Свободное от зарядов и токов электромагнитное поле, представляющее собою свет, описывается изотропным вектором (нульвектором) Римана-Зильберштейна:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +i\mathbf {H} ,~\mathbf {F} ^{2}=0}$.

Вещественная и мнимая составляющие такого нульвектора, представляющие собой напряжённости электрического и магнитного полей, взаимно-ортогональны и равны по величине:

${\displaystyle \mathbf {E} \perp \mathbf {H} ,~E=H}$.

Плотность энергии-импульса поля

Бикватернион четырёхмерной плотности энергии-импульса электромагнитного поля выражается в виде квадратичной вещественнозначной (эрмитовой) формы от этого поля:

${\displaystyle K=(w,\mathbf {S} )={1 \over 2}\mathbf {F} \mathbf {F} ^{*}}$.

Уравнения Максвелла

Аналогом 4-тока в релятивистской бикватернионной алгебре служит бикватернион тока, имеющий в скалярно-векторном представлении следующий вид:

${\displaystyle J=4\pi \left(\rho ,\;\mathbf {j} \right).}$

В бикватернионном представлении уравнения Максвелла выражаются в виде[1][2]:

${\displaystyle D\mathbf {F} ={\overline {J}},}$

где ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +i\mathbf {H} }$ — vектор Римана — Зильберштейна, ${\displaystyle D}$ — бикватернионный оператор градиента (аналог 4-градиента): ${\displaystyle D=(\partial _{t},\nabla )}$.

Доказательство

${\displaystyle D\mathbf {F} =(\partial _{t},\nabla )\mathbf {F} =\left(\nabla \cdot \mathbf {F} ,\partial _{t}\mathbf {F} +i\nabla \times \mathbf {F} \right)=\left(\nabla \cdot \mathbf {E} +i\nabla \cdot \mathbf {H} ,\partial _{t}\mathbf {E} +i\partial _{t}\mathbf {H} +i\nabla \times \mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} \right),~~}$${\displaystyle {\overline {J}}=4\pi (\rho ,-\mathbf {j} )}$

${\displaystyle D\mathbf {F} ={\overline {J}}~\Leftrightarrow ~{\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} +i\nabla \cdot \mathbf {H} =4\pi \rho \\\partial _{t}\mathbf {E} +i\partial _{t}\mathbf {H} +i\nabla \times \mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} =-4\pi \mathbf {j} \end{cases}}~\Leftrightarrow ~{\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \\\nabla \cdot \mathbf {H} =0\\\partial _{t}\mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} =-4\pi \mathbf {j} \\\partial _{t}\mathbf {H} +\nabla \times \mathbf {E} =0\end{cases}}}$

Последняя система уравнений и представляет собою уравнения Максвелла. Таким образом, мы доказали их эквивалентность исходному уравнению в бикватернионах.

История

Термин «вектор Римана-Зильберштейна» был, по-видимому, введён И.Бялиницким-Бирулей[3].

Примечания

1. Ludwik Silberstein^[англ.], «Quaternionic form of relativity», Phil. Mag. 14 1912, С.11-12
2. K. Imaeda, «A new formulation of classical electrodynamics», Nuovo Cimento B, 32:1 (1978), С.144-148
3. Iwo Bialynicki-Birula. «The beauty of the Riemann-Silberstein vector» (2005)