4-градиент

4-градие́нт (четыре-градиент, четырёхградиент, 4-на́бла; обозначается D, или ) в специальной теории относительности — 4-векторный дифференциальный оператор в псевдоевклидовом пространстве Минковского, определяемый как[1]

где  — 3-вектор градиента. Следует отметить, что выше записаны ковариантные компоненты 4-векторного оператора. Контравариантные компоненты отличающиеся знаком минус перед пространственными компонентами, используются редко, например для вычисления квадрата 4-градиента[1] (здесь и ниже метрический тензор; используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся координатным индексам).

Если вычислить скалярное произведение D на самого себя (учитывая, что пространство Минковского псевдоевклидово), то получится скалярный 4-мерный оператор Д’Аламбера:

где Δ — оператор Лапласа.

Ещё один способ обозначения 4-градиента — запятая перед координатным индексом. Так, если а — скаляр, то его 4-градиент

Скалярное произведение вектора 4-градиента (слева) на 4-вектор определяет 4-дивергенцию:

где  — контравариантные компоненты 4-вектора, а  — дивергенция.

Символ (и иногда ) используется также как ковариантная производная в криволинейных координатах:

где  — символы Кристоффеля. В декартовых координатах евклидового (псевдоевклидового) пространства символы Кристоффеля равны нулю, и ковариантная производная совпадает с 4-градиентом. Ковариантная производная скаляра совпадает с 4-градиентом независимо от криволинейности координат:

Ссылки

  • S. Hildebrandt, «Analysis II» (Calculus II), ISBN 3-540-43970-6, 2003.
  • L. C. Evans, «Partial differential equations», A.M.Society, Grad. Studies Vol. 19, 1988.
  • J. D. Jackson, «Classical Electrodynamics» Chapter 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X.

Примечания

  1. 1 2 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 37. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.