Биективное доказательствоБиективное доказательство — это техника доказательства, при которой находится биективная функция f : A → B между двумя конечными множествами A и B или сохраняющая размер биективная функция между двумя комбинаторными классами[англ.], чем доказывается одинаковость числа элементов, |A| = |B|. Место, где техника полезна — когда мы хотим знать размер A, но не можем найти прямого пути подсчёта элементов множества. В этом случае установление биекции между A и некоторым множеством B решает задачу, если число элементов множества B вычислить проще. Другое полезное свойство этой техники — природа биекции само по себе часто даёт мощную информацию о каждом из двух множеств. Базовые примерыДоказательство симметрии биномиальных коэффициентовСимметрия биномиальных коэффициентов утверждает, что Это означает, что имеется точно столько же комбинаций k элементов из множества, содержащего n элементов, как и комбинаций n − k элементов. Биективное доказательствоЗаметим, что две величины, для которых мы доказываем равенство, подсчитывают число подмножеств размера k и n − k соответственно любого n-элементного множества S. Существует простая биекция между двумя семействами Fk и Fn − k подмножеств S — она связывает каждое k-элементное подмножество с его дополнением, которое содержит в точности оставшиеся n − k элементов множества S. Поскольку Fk и Fn − k имеют одинаковое число элементов, соответствующие биномиальные коэффициенты должны быть равны. Рекуррентное отношение треугольника Паскаля
Биективное доказательствоДоказательство. Мы считаем число способов выбрать k элементов из n-элементного множества. Снова, по определению, левая часть равенства равна числу способов выбора k элементов из n. Поскольку 1 ≤ k ≤ n − 1, мы можем фиксировать элемент e из n-элементного множества, так что оставшееся подмножество не пусто. Для каждого k-элементного множества, если e выбрано, существует способов выбора оставшихся k − 1 элементов среди оставшихся n − 1 возможностей. В противном случае имеется способов выбора оставшихся k элементов среди оставшихся n − 1 возможностей. Тогда есть способов выбора k элементов. Другие примерыЗадачи, позволяющие комбинаторное доказательство, не ограничены биномиальными коэффициентами. По мере возрастания сложности задачи комбинаторное доказательство становится всё более изощрённым. Техника биективного доказательства полезно в областях дискретной математики, таких как комбинаторика, теория графов и теория чисел. Наиболее классические примеры биективных доказательств в комбинаторике:
См. такжеПримечанияЛитература
Ссылки
|
Portal di Ensiklopedia Dunia