Атомарная функция

Атома́рная фу́нкция — финитное решение функционально-дифференциального уравнения вида

${\displaystyle L\,y(x)=\sum _{k=1}^{M}c_{k}y(ax-b_{k}),}$

где ${\displaystyle L}$ — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; коэффициенты ${\displaystyle a,b_{k},c_{k}\in \mathbb {R} }$, причём ${\displaystyle |a|>1}$[1][2].

Атомарная функция up(x)

Простейшая атомарная функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ (читается: «ап от ${\displaystyle x}$»[3])  является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,y'(x)=y(2x+1)-y(2x-1)}$

с носителем ${\displaystyle \operatorname {supp} \operatorname {up} (x)=(-1,1),}$ которое удовлетворяет условию нормировки ${\displaystyle \operatorname {up} (0)=1}$ (доказано, что при указанной нормировке это решение существует и единственно)[4].

Атомарная функция ${\displaystyle \mathrm {up} (x)}$ и её производная

Преобразование Фурье функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ имеет вид

${\displaystyle {\hat {\operatorname {up} }}(t)=\prod _{k=1}^{\infty }\operatorname {sinc} {\frac {t}{2^{k}}},}$

где ${\displaystyle \operatorname {sinc} =\sin {x}/x}$ — sinc-функция.

Функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ — чётная, возрастает на интервале ${\displaystyle [-1,\;0]}$, убывает на интервале ${\displaystyle [0,\;1],}$ а её график ограничивает над осью абсцисс единичную площадь. Кроме того, ${\displaystyle \operatorname {up} (1-x)=1-\operatorname {up} (x)}$ при ${\displaystyle x\in [0,\;1]}$. Таким образом, целочисленные сдвиги ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ образуют разбиение единицы:

${\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {up} (x-j)\equiv 1.}$

Значения ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ в двоично-рациональных точках вида ${\displaystyle 2^{-n}k}$ — рациональные числа. Функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для её вычисления нельзя использовать ряд Тейлора, однако существуют быстросходящиеся ряды специального вида, приспособленные для таких вычислений. Используются также разложения ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ в ряд Фурье, ряды по полиномам Лежандра, Бернштейна и др.

Атомарные функции бесконечно дробимы, то есть представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов. Хорошие аппроксимативные свойства функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ можно представить алгебраический многочлен любой степени.

Атомарные функции h_a(x), совершенные сплайны

Атомарные функции ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ (при ${\displaystyle a>1}$) являются обобщением функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$. Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид

${\displaystyle {\frac {2}{a^{2}}}y'(x)=y(ax+1)-y(ax-1).}$

Таким образом, ${\displaystyle \operatorname {up} (x)\equiv \operatorname {h} _{2}(x).}$ Преобразование Фурье функции ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ имеет вид

${\displaystyle {\hat {\operatorname {h} _{a}}}(t)=\prod _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} {\frac {t}{a^{n}}},}$

следовательно, функции ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов (прямоугольных функций), ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов ${\displaystyle M}$ бесконечного произведения, получим преобразование Фурье совершенных сплайнов ${\displaystyle \operatorname {h} _{a,M}(x)}$ с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением

${\displaystyle {\frac {2}{a^{2}}}\operatorname {h} '_{a,M}(x)=\operatorname {h} _{a,M-1}(ax+1)-\operatorname {h} _{a,M-1}(ax-1).}$

Обобщённая теорема Котельникова

Нули преобразований Фурье функций ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ расположены регулярным образом в точках ${\displaystyle a\pi n}$ ${\displaystyle (n\neq 0)}$. В связи с этим любую непрерывную функцию ${\displaystyle f(x)}$ с финитным спектром ${\displaystyle (\operatorname {supp} {\hat {f}}=[-\Omega ,\Omega ])}$ можно разложить в ряд

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k\Delta ){\hat {\operatorname {h} _{a}}}\left[{\frac {a\pi }{\Delta }}(x-k\Delta )\right],}$

где ${\displaystyle a>2,\ 0<\Delta \leq \pi (a-2)/\Omega (a-1)}$[5].

Данная формула обобщает известную теорему Котельникова[5]; впервые она была предложена В. Ф. Кравченко и В. А. Рвачёвым[6], а в дальнейшем развита Е. Г. Зелкиным, В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом[7].

История и развитие

Атомарные функции впервые были введены в работе[8] 1971 года. Обстоятельства появления функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ связаны с проблемой, поставленной в 1967 году В. Л. Рвачёвым и решённой В. А. Рвачёвым: найти такую финитную дифференцируемую функцию, что её график имел бы вид «горба» с одним участком возрастания и одним участком убывания, а график её производной состоял бы из «горба» и «ямы», причём последние были бы подобны «горбу» самой функции, т. e. представляли бы собой — с точностью до масштабного коэффициента — сдвинутую и сжатую копию графика исходной функции[9].

Итоги начального этапа развития теории атомарных функций представлены в работе В. А. Рвачёва «Атомарные функции и их применение»[10]. В ней дан подробный обзор работ по теории атомарных функций, доведённый до 1984 года, приведён список нерешённых задач теории атомарных функций, во многом определивший направления дальнейших исследований.

В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации, численном анализе, цифровой обработке сигналов, вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школы[11][12][13][14][15][16][17][18][19][20][21][22][23].

См. также

• Функция sinc(x)
• Окно (весовая функция)
• B-сплайн
• Теорема Котельникова

Примечания

1. Рвачёв и Рвачёв, 1979, с. 110.
2. Кравченко, 2003, с. 17.
3. Тихомиров, 1987, с. 202—203.
4. Рвачёв В. Л. . Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наукова думка, 1982. — С. 383. — 552 с.
5. Кравченко, 2003, с. 90—92.
6. Кравченко В. Ф., Рвачёв В. А.  Применение атомарных функций в задачах интерполяции // Электромагнитные волны и электронные системы. — 1998. — Т. 3, № 3. — С. 16—26.
7. Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Басараб М. А.  Интерполяция сигналов с финитным спектром с помощью преобразований Фурье атомарных функций и её применение в задачах синтеза антенн // Радиотехника и электроника. — 2002. — Т. 47, № 4. — С. 461—468.
8. Рвачов В. Л., Рвачов В. О.  Про одну фінітну функцію // ДАН УРСР. Сер. А. — 1971. — № 8. — С. 705—707.
9. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В.  Атомарные функции и WA-системы и функций в современных проблемах радиофизики и техники // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2011. — Т. 16, № 9. — С. 7—32. Архивировано 4 марта 2016 года.
10. Рвачёв В. А. . Атомарные функции и их применение // Стоян Ю. Г., Проценко В. С., Манько Г. П. и др. Теория R-функций и актуальные проблемы прикладной математики. — Киев: Наукова думка, 1986. — С. 45—65. — 264 с.
11. Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В. П. . Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера — Котельникова — Шеннона. — М.: Радиотехника, 2004. — 72 с. — ISBN 5-93108-064-3.
12. Кравченко В. Ф., Рвачёв В. Л. . Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. — М.: Физматлит, 2006. — 416 с. — ISBN 5-9221-0752-6.
13. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2007. — 544 с. — ISBN 978-5-9221-0871-3.
14. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. . Методы моделирования и цифровой обработки сигналов в гироскопии. — М.: Физматлит, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-9221-0809-6.
15. Волосюк В. К., Кравченко В. Ф. . Статистическая теория радиотехнических систем дистанционного зондирования и радиолокации / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2008. — 704 с. — ISBN 978-5-9221-0895-9.
16. Кравченко В. Ф., Лабунько О. С., Лерер А. М., Синявский Г. П. . Вычислительные методы в современной радиофизике / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2009. — 464 с. — ISBN 978-5-9221-1099-0.
17. Волосюк В. К., Гуляев Ю. В., Кравченко В. Ф., Кутуза Б. Г., Павликов В. В., Пустовойт В. И.  Современные методы оптимальной обработки пространственно-временных сигналов в активных, пассивных и комбинированных активно-пассивных радиотехнических системах // Радиотехника и электроника. — 2014. — Т. 59, № 2. — С. 109—131.
18. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В.  Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть I // Радиотехника и электроника. — 2014. — Т. 59, № 10. — С. 949—978.
19. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В., Юрин А. В.  Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть II // Радиотехника и электроника. — 2015. — Т. 60, № 2. — С. 109—148.
20. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В.  Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть III // Радиотехника и электроника. — 2015. — Т. 60, № 7. — С. 663—694.
21. Кравченко В. Ф., Коновалов Я. Ю., Пустовойт В. И.  Семейства атомарных функций cha_n(x) и fup_n(x) в цифровой обработке сигналов // ДАН РАН. — 2015. — Т. 462, № 1. — С. 35—40.
22. Кравченко В. Ф., Чуриков Д. В. Цифровая обработка сигналов атомарными функциями и вейвлетами. — М.: Техносфера, 2019. Дополнительный тираж. 182 с. ISBN 978-5-94836-506-0.
23. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В. Конструктивные методы алгебры логики, атомарных функций, вейвлетов, фракталов в задачах физики и техники. — М.: Техносфера, 2018. 696 с. ISBN 978-5-94836-518-3.

Литература

• Рвачёв В. Л., Рвачёв В. А. Неклассические методы теории приближений в краевых задачах. — Киев: Наукова думка, 1979. — 196 с.
• Стоян Ю. Г., Проценко В. С., Манько Г. П. и др. Теория R-функций и актуальные проблемы прикладной математики. — Киев: Наукова думка, 1986. — 264 с.
• Тихомиров В. М. Теория приближений // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987. — Т. 14. — 272 с. — С. 103—260.
• Кравченко В. Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. — М.: Радиотехника, 2003. — 512 с. — ISBN 5-93108-019-8.