Альтернатива Титса

Альтернатива Титса — теорема о строении конечно порожденных линейных групп. Названа в честь Жака Титса.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle G}$ конечно порождённая линейная группа над некоторым полем. Тогда для ${\displaystyle G}$ выполняется в точности одно из следующих утверждений

• Либо ${\displaystyle G}$ почти разрешима, то есть  содержит разрешимую подгруппу конечного индекса.
• Либо ${\displaystyle G}$ содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.

Следствия

• Линейная группа не аменабельна, тогда и только тогда, когда она содержит неабелеву свободную группу.
  • Иначе говоря, гипотеза фон Неймана справедлива и для линейных групп.
• Альтернатива Титса является важным компонентом в доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста. 

Вариации и обобщения

Говорят, что группа ${\displaystyle G}$ удовлетворяет альтернативе Титса, если для каждая подгруппы ${\displaystyle H<G}$ почти разрешима или содержит неабелеву свободную подгруппу. Иногда в определении дополнительно предполагают, что ${\displaystyle H}$ конечно порождена.

Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, включают линейные группы, а также:

• Гиперболические группы
• Группа классов преобразований поверхности[1][2]
• ${\displaystyle Out(F_{n})}$^[англ.][3]

Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:

• Группа Григорчука;
• Группа F Томпсона.

О доказательстве

В доказательстве рассматривают замыкание ${\displaystyle {\bar {G}}}$ группы ${\displaystyle G}$ в топологии Зарисского. Если ${\displaystyle {\bar {G}}}$ разрешима, то и группа ${\displaystyle G}$ разрешима. В противном случае переходят к рассмотрению образа ${\displaystyle G}$ в компоненте Леви ${\displaystyle {\bar {G}}}$. Если она некомпактна, то пинг-понг лемма^[англ.] завершает доказательство. Если она компактна, то либо все собственные значения элементов в образе ${\displaystyle G}$ корни единицы, а значит, образ ${\displaystyle G}$ конечен, или можно найти вложение, для которого применима пинг-понг лемма.

См. также

• Альтернатива Жиса — Маргулиса

Примечания

1. Ivanov, Nikolai. Algebraic properties of the Teichmüller modular group (англ.) // Dokl. Akad. Nauk SSSR : journal. — 1984. — Vol. 275. — P. 786—789.
2. McCarthy, Jenny. A "Tits-alternative" for subgroups of surface mapping class groups (англ.) // Trans. Amer. Math. Soc. : journal. — 1985. — Vol. 291. — P. 583—612. — doi:10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8.
3. Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael. The Tits alternative for Out(F_n) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2000. — Vol. 151, no. 2. — P. 517—623. — doi:10.2307/121043. — arXiv:math/9712217. — JSTOR 121043.

Ссылки

• Tits, J. Free subgroups in linear groups (неопр.) // Journal of Algebra^[англ.]. — 1972. — Т. 20, № 2. — С. 250—270. — doi:10.1016/0021-8693(72)90058-0.