Гиперболическая группа

Гиперболическая группа — конечно-порождённая группа, граф Кэли которой, как метрическое пространство, является гиперболическим по Громову.

Определение

На конечно-порождённой группе с выбранными образующими есть естественная метрика — словарная. Группа называется гиперболической, если, снабжённая этой метрикой, она оказывается гиперболической как метрическое пространство. Поскольку при замене выбранной системы образующих метрика меняется квазиизометрично, а гиперболичность метрического пространства при этом сохраняется — понятие оказывается не зависящим от выбора системы образующих.

Примеры

• Поскольку гиперболичность это, в определённом смысле, «сходство» свойств метрического пространства с деревом — свободная группа (граф Кэли которой является деревом) с любым конечным числом образующих гиперболична.
• Группа PSL(2,Z) гиперболична.
• Конечная группа гиперболична.

Не примеры:

• Свободная абелева группа с двумя образующими ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ не является гиперболической.
  • Более того, любая группа содержащая подгруппу изоморфную ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ не гиперболична.[1][2]
• Группа Баумслага — Солитера B(m,n), а также любая группа содержащая B(m,n) как подгруппу, не гиперболична.

Свойства

• Гиперболичность сохраняется при переходе к подгруппе конечного индекса.
• Любая гиперболическая группа является конечно-представленной: задаётся конечным числом образующих и конечным числом соотношений. (Как следствие, гиперболических групп — в отличие от всех групп вообще — лишь счётное число.)
• Гиперболичность равносильна линейному изопериметрическому неравенству: тривиальное слово, записанное как произведение N образующих, представляется как произведение CN сопряжённых к базисным соотношениям (с определённым контролем на длину сопрягающих произведений).

Примечания

1. Bridson, Haefliger, 1999, Chapter III.Γ, Corollary 3.10.
2. Ghys, de la Harpe, 1990, Ch. 8, Th. 37.

Литература

• П. де ля Арп, Э. Гис, Гиперболические группы по Михаилу Громову
• Bridson, Martin R. Metric spaces of non-positive curvature / Martin R. Bridson, André Haefliger. — Berlin : Springer-Verlag, 1999. — Vol. 319. — ISBN 3-540-64324-9. — doi:10.1007/978-3-662-12494-9.
• Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
• Rips, E. Sela, Z. Canonical representatives and equations in hyperbolic groups. Invent. Math. 120 (1995), no. 3, 489—512.
• Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov : [фр.]. — Boston, MA : Birkhäuser Boston, Inc., 1990. — Vol. 83. — ISBN 0-8176-3508-4. — doi:10.1007/978-1-4684-9167-8.