Алмаз (теория графов)

Алмаз
Вершин	4
Рёбер	5
Радиус	1
Диаметр	2
Обхват	3
Автоморфизмы	4 (Z/2Z×Z/2Z)
Хроматическое число	3
Хроматический индекс	3
Свойства	Граф единичных расстояний планарный Гамильтонов
Медиафайлы на Викискладе

Алмаз — планарный неориентированный граф с 4 вершинами и 5 рёбрами[1][2]. Граф представляет собой полный граф ${\displaystyle K_{4}}$ без одного ребра.

Радиус алмаза равен 1, диаметр равен 2, обхват равен 3, хроматический индекс и хроматическое число равны 3. Граф также вершинно 2-связен и рёберно 2-связен, имеет грациозную разметку[3] и является гамильтоновым.

Графы без алмазов и запрещённые миноры

Граф является свободным от алмазов, если он не содержит алмаза в качестве порождённого подграфа. Графы без треугольников являются свободными от алмазов, поскольку любой алмаз содержит треугольник.

Семейство графов, в котором каждая связная компонента является кактусом, замкнуто вниз относительно операции образования минора графа. Это семейство графов может быть описано единственным запрещённым минором — алмазом[4].

Если бабочка и алмаз являются запрещёнными минорами, полученное семейство графов является семейством псевдолесов.

Алгебраические свойства

Группа автоморфизмов алмаза является группой порядка 4, изоморфной четверной группе Клейна, прямому произведению циклической группы Z/2Z на себя.

Характеристический многочлен алмаза равен ${\displaystyle x(x+1)(x^{2}-x-4)}$. Алмаз является единственным графом с характеристическим многочленом, определяющим граф его спектром.

См. также

• Матроид Вамоса^[англ.]

Примечания

1. Weisstein, Eric W. Diamond Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. ISGCI: Information System on Graph Classes and their Inclusions "List of Small Graphs Архивировано 18 ноября 2012 года.".
3. Sin-Min Lee, Y.C. Pan and Ming-Chen Tsai. "On Vertex-graceful (p,p+l)-Graphs". Архивированная копия  (неопр.). Дата обращения: 16 сентября 2009. Архивировано 7 августа 2008 года.
4. El-Mallah, Colbourn, 1988, с. 354–362.

Литература

• Ehab El-Mallah, Charles J. Colbourn. The complexity of some edge deletion problems // IEEE Transactions on Circuits and Systems. — 1988. — Т. 35, вып. 3. — С. 354–362. — doi:10.1109/31.1748.