Operație algebrică

Operații algebrice la rezolvarea ecuației de gradul al doilea. Semnul radical, √, care denotă o rădăcină pătrată, este echivalent cu ridicarea la puterea ½. Semnul ± înseamnă că ecuația poate fi scrisă fie cu semnul +, fie cu semnul −

În matematică o operație algebrică de bază este oricare dintre operațiile comune ale aritmeticii, adică adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la o putere întreagă și extragerea de radicali (putere fracționară).[1][2] Aceste operații pot fi efectuate cu numere, caz în care sunt adesea numite operații aritmetice. Similar, ele pot fi efectuate cu variabile, expresii algebrice,[3] sau cu elemente ale structurilor algebrice ca grupuri și domenii.[4] O operație algebrică poate fi definită și ca o funcție pe o putere carteziană a unei mulțimi, cu codomeniu aceeași mulțime.[5]

Alte exemple de operații algebrice sunt compunerea funcțiilor și a permutărilor.

Termenul de "operație algebrică" poate fi utilizat și pentru operații care pot fi definite prin compunerea operațiilor algebrice de bază, cum ar fi produsul scalar. În calculul infinitezimal și analiza matematică o operație algebrică este de asemenea utilizată pentru operațiile care pot fi definite exclusiv prin metode algebrice. De exemplu ridicarea la o putere întreagă sau rațională este o operație algebrică, dar nu și ridicarea la o putere reală sau complexă. De asemenea, derivarea este o operație unară care nu este algebrică.

Notații

Simbolurile de înmulțire sunt de obicei omise. Atunci când nu există un operator între două variabile sau termeni sau când se folosește un coeficient înmulțirea este considerată implicită. De exemplu, 3 × x^2 este scris ca 3x ^2 iar 2 × x × y este scris ca 2xy.[6] Uneori simbolul înmulțirii (×) este înlocuit fie cu un punct, fie cu un punct central,[1] astfel că x × y este scris ca x . y sau x · y. În textul simplu, limbajele de programare și calculatoare se folosește asteriscul pentru a reprezenta simbolul înmulțirii,[7] și trebuie folosit explicit, de exemplu 3x se scrie 3*x.

Pentru împărțire, în loc de a folosi semnul două puncte (:), care uneori poate părea ambiguu, se preferă linia de fracție, ca în 3/x + 1. În textul simplu și limbajele de programare se folosește bara de fracție, ex. 3 / (x + 1).

Exponenții sunt uzual prezentați ca indici superiori (superscript[1][8]) ca în x^2. În textul simplu, limbajul TeX și unele limbaje ca MATLAB și Julia, simbolul caret (^) reprezintă ridicarea la putere, astfel x^2 se scrie x ^ 2.[9][10] În limbajele de programare Ada,[11] Fortran,[12] Perl,[13] Python,[14] și Ruby,[15] se folosec două asteriscuri, x^2 se scrie x ** 2.

semnul plus-minus (±), este folosit ca o prescurtare pentru două expresii scrise într-una singură, reprezentând o expresie cu semnul plus și cealaltă cu semnul minus.[1] De exemplu, y = x ± 1 reprezintă cele două ecuații ${\displaystyle y=x+1}$ și ${\displaystyle y=x-1.}$ Uneori este folosit pentru a nota o mărime pozitivă sau negativă ca ±x.

Operații aritmetice și algebrice

Operațiile algebrice lucrează la fel cu operațiile aritmetice, fapt prezentat în tabelul următor.

Operația	Aritmetică Exemplu	Algebră Exemplu	Comentarii ≡ înseamnă "echivalent" ≢ înseamnă "neechivalent"
Adunare	${\displaystyle (5\times 5)+5+5+3}$ echivalent cu: ${\displaystyle 5^{2}+(2\times 5)+3}$	${\displaystyle (b\times b)+b+b+a}$ echivalent cu: ${\displaystyle b^{2}+2b+a}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}}$
Scădere	${\displaystyle (7\times 7)-7-5}$ echivalent cu: ${\displaystyle 7^{2}-7-5}$	${\displaystyle (b\times b)-b-a}$ echivalent cu: ${\displaystyle b^{2}-b-a}$	${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}}$
Înmulțire	${\displaystyle 3\times 5}$ or ${\displaystyle 3\ .\ 5}$   or   ${\displaystyle 3\cdot 5}$ or   ${\displaystyle (3)(5)}$	${\displaystyle a\times b}$ or ${\displaystyle a.b}$   or   ${\displaystyle a\cdot b}$ or   ${\displaystyle ab}$	${\displaystyle a\times a\times a}$ este aceeași cu ${\displaystyle a^{3}}$
Împărțire	${\displaystyle 12\div 4}$ or   ${\displaystyle 12/4}$ or   ${\displaystyle {\frac {12}{4}}}$	${\displaystyle b\div a}$ or   ${\displaystyle b/a}$ or   ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {(a+b)}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)}$
Ridicare la putere	${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$   ${\displaystyle 2^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$   ${\displaystyle a^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$ este aceeași cu ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$   ${\displaystyle a^{3}}$ este aceeași cu ${\displaystyle a\times a\times a}$

Notă: folosirea literealor ${\displaystyle a}$ și ${\displaystyle b}$ este arbitrară, exemplele ar fi fost corecte și cu ${\displaystyle x}$ și ${\displaystyle y}$.

Proprietăți ale operațiilor aritmetice și algebrice

Proprietatea	Aritmetică Exemplu	Algebră Exemplu	Comentarii ≡ înseamnă "echivalent" ≢ înseamnă "neechivalent"
Comutativitate	${\displaystyle 3+5=5+3}$ ${\displaystyle 3\times 5=5\times 3}$	${\displaystyle a+b=b+a}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$	Adunarea și înmulțirea sunt comutative și asociative[16] Scăderea și împărțirea nu sunt: e.g. ${\displaystyle (a-b)\not \equiv (b-a)}$
Asociativitate	${\displaystyle (3+5)+7=3+(5+7)}$ ${\displaystyle (3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)}$	${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$

Vezi și

• Expresie algebrică
• Funcție algebrică
• Ordinea operațiilor

Note

1. ^ en „Compendium of Mathematical Symbols: Common Operators”. Math Vault (în engleză). 1 martie 2020. Accesat în 27 august 2020. 
2. en „algebraic operation | Encyclopedia.com”. www.encyclopedia.com. Accesat în 27 august 2020. 
3. en William Smyth, Elementary algebra: for schools and academies, Publisher Bailey and Noyes, 1864, "Algebraic Operations"
4. en Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7
5. en „Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Accesat în 27 august 2020. 
6. en Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN: 9812738827, 9789812738820, page 68
7. en William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa, Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others, Publisher MAA, 2004, ISBN: 0883857367, 9780883857366, page 75
8. Brândușa Răileanu, Dicționar român–englez de termeni matematici și tehnici, București: Ed. MTTLC, 2016, ISBN: 978-606-760-040-7, p. 308
9. en Ramesh Bangia, Dictionary of Information Technology, Publisher Laxmi Publications, Ltd., 2010, ISBN: 9380298153, 9789380298153, page 212
10. George Grätzer, First Steps in LaTeX, Publisher Springer, 1999, ISBN: 0817641327, 9780817641320, page 17
11. en S. Tucker Taft, Robert A. Duff, Randall L. Brukardt, Erhard Ploedereder, Pascal Leroy, Ada 2005 Reference Manual, Volume 4348 of Lecture Notes in Computer Science, Publisher Springer, 2007, ISBN: 3540693351, 9783540693352, page 13
12. en C. Xavier, Fortran 77 And Numerical Methods, Publisher New Age International, 1994, ISBN: 812240670X, 9788122406702, page 20
13. en Randal Schwartz, brian foy, Tom Phoenix, Learning Perl, Publisher O'Reilly Media, Inc., 2011, ISBN: 1449313140, 9781449313142, page 24
14. en Matthew A. Telles, Python Power!: The Comprehensive Guide, Publisher Course Technology PTR, 2008, ISBN: 1598631586, 9781598631586, page 46
15. Kevin C. Baird, Ruby by Example: Concepts and Code, Publisher No Starch Press, 2007, ISBN: 1593271484, 9781593271480, page 72
16. en Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach, Publisher: Cengage Learning, 2007, ISBN: 061885195X, 9780618851959, 1114 pages, page 7