Funcție algebrică de gradul întâi

Funcția de gradul întâi este o funcție algebrică elementară, exprimată printr-o expresie algebrică binom de gradul întâi.

Noțiuni introductive

Definiție

Fie o funcție ${\displaystyle f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=ax+b,a,b\in \Re \;}$ , aceasta se numește funcție afină. Dacă ${\displaystyle a\neq \;0,}$ atunci ${\displaystyle \ f}$ se numește funcție de gradul întâi de coeficienți ${\displaystyle \ a,b}$. Dacă ${\displaystyle a\neq \;0,b=0}$ atunci ${\displaystyle \ f}$ se numește funcție liniară ${\displaystyle \ (f(x)=ax)}$ . Dacă ${\displaystyle \ a=0}$ atunci ${\displaystyle \ f}$ se numește funcție constantă ${\displaystyle \ (f(x)=b).}$

Pentru funcția de gradul întâi, ${\displaystyle \ ax}$ se numește termenul de gradul întâi , iar ${\displaystyle \ b}$ , termenul liber al funcției. O ecuație de forma ${\displaystyle \ ax+b=0}$ se numește ecuația atașată funcției ${\displaystyle \ f.}$

Observații

1. Funcția ${\displaystyle f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=ax+b,a\neq \;0}$ se numește funcția de gradul întâi deoarece este funcția asociată polinomului de gradul întâi cu coeficienți reali ${\displaystyle \ ax+b}$ .
2. Funcția de gradul întâi este bine determinată dacă se cunosc coeficienții ${\displaystyle a,b\in \Re \;}$.

Exemple

1. Funcția ${\displaystyle f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=-3x+{\sqrt {5}}}$ este funcție de gradul întâi cu coeficienții ${\displaystyle a=-3,b={\sqrt {5}}}$.
2. Funcția ${\displaystyle f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=4x}$ este funcție liniară cu ${\displaystyle \ a=4,}$ ${\displaystyle \ b=0}$.
3. Funcția ${\displaystyle f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=3}$ este funcție constantă când ${\displaystyle \ a=0,}$ ${\displaystyle \ b=3}$.

Monotonia funcției de gradul întâi

Relativ la monotonia acestei funcții are loc următoarea teoremă:

Teoremă

Funcția de gradul întâi ${\displaystyle f:\Re \;\rightarrow \;\Re \;,f(x)=ax+b,a\neq \;0}$ este:

1. strict crescătoare dacă ${\displaystyle a>\;0,}$ iar tabelul de variație a funcției este:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle -\infty \qquad \quad +\infty }$
${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle -\infty \nearrow \;\nearrow \;+\infty }$

2. strict descrescătoare dacă ${\displaystyle a<\;0,}$ iar tabelul de variație a funcției este:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle -\infty \qquad \quad +\infty }$
${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle -\infty \searrow \;\searrow \;+\infty }$

Demonstrație

Pentru a proba monotonia funcției se va utiliza rata creșterii (descreșterii) lui ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {ax_{2}+b-(ax_{1}+b)}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {a(x_{2}-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=a}$ pentru ${\displaystyle x_{1}\neq \;x_{2}}$ . Dacă ${\displaystyle a>\;0}$ atunci ${\displaystyle \ f}$ este strict crescătoare, iar dacă ${\displaystyle a<\;0,}$, atunci ${\displaystyle \ f}$ este strict descrescătoare.

Observații

1. Semnul lui ${\displaystyle \ a}$ precizează monotonia funcției de gradul întâi.
2. Ecuația ${\displaystyle \ y=ax+b}$ reprezintă o dreaptă de pantă ${\displaystyle a\neq \;0}$ (o dreaptă oblică neparalelă cu axa ${\displaystyle \ Ox}$ sau cu axa ${\displaystyle \ Oy}$ ).

Bibliografie

1. "Matematica TC+CD" - manual de clasa a IX-a, I.V.Maftei, A.V.Mihai, M.A. Nicolescu, C.P. Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN, Ed. NEDION, București, 2004
2. "Matematica TC+CD" - manual de clasa a IX-a, M. Ganga, Ed. MATHPRESS, Ploiești, 2008