Extindere algebrică

În algebră abstractă, o extindere de corp L/K se numește algebrică dacă fiecare element din L este algebric peste K, adică dacă fiecare element din L este o rădăcină a unor polinom nenul cu coeficienți în K.[1][2] Extinderile de corp care nu sunt algebrice, adică care conțin elemente transcendente se numesc transcendente.[3][4]

De exemplu, extinderea de corp R/Q, care este corpul numerelor reale ca extindere a corpului numerelor raționale, este transcendent,[5] deoarece corpul extinderilor C/R[6] și Q(√2)/Q[7] este algebric, unde C este corpul numerelor complexe.

Toate extinderile transcendente sunt de grad infinit. Acest lucru implică faptul că toate extinderile finite sunt algebrice.[8] Inversa nu este adevărată: există extinderi infinite care sunt algebrice.[9] De exemplu corpul numerelor algebrice este o extindere algebrică infinită a numerelor raționale.[10]

Fie E o extindere a corpului K, iar a ∈ E. Dacă a este algebric peste K, atunci K(a), mulțimea tuturor polinoamelor în a cu coeficienți în K, este nu numai un inel, ci un corp: K(a) este o extindere algebrică a lui K care are un grad finit peste K.[11] Inversa nu este adevărată. Q[π] și Q[e] sunt corpuri, dar π și e sunt transcendente peste Q.[12]

Toate corpurile algebric închise F nu au extinderi algebrice proprii, adică nu au extinderi algebrice E cu F < E.[13] Un exemplu este corpul numerelor complexe. Fiecare corp are o extindere algebrică care este închisă algebric (numită închidere algebrică), dar pentru a demonstra acest lucru în general este nevoie de o formă a axiomei alegerii.[14]

O extindere L/K este algebrică dacă și numai dacă orice K-subalgebră a L este un corp.

Properietăți

Clasa extinderilor algebrice formează o clasă distinctă de extinderi de corp, extinderi care au următoarele trei proprietăți:[15]

1. Dacă E este o extindere algebrică a lui F iar F este o extindere algebrică a lui K, atunci E este o extindere algebrică a lui K.
2. Dacă E și F sunt extinderi algebrice ale lui K într-un supracorp comun C, atunci produsul tensorial de corpuri^⁠(d) EF este o extindere algebrică a lui K.
3. Dacă E este o extindere algebrică a lui F iar E>K>F atunci E este o extindere algebrică a lui K.

Aceste rezultate pot fi generalizate folosind inducția transfinită:

4. Reuniunea oricărui lanț de extinderi algebrice peste un corp de bază este ea însăși o extindere algebrică peste același corp de bază.

Acest fapt, împreună cu lema lui Zorn (aplicate la o mulțime parțial ordonată corespunzătoare), stabilește existența închiderilor algebrice.

Generalizări

Teoria modelelor^⁠(d) generalizează noțiunea de extindere algebrică la teorii arbitrare: o încorporare a M în N se numește extindere algebrică dacă pentru fiecare x din N există o formulă^⁠(d) p cu parametri în M, astfel încât p(x) este adevărată iar mulțimea

${\displaystyle \left\{y\in N\mid p(y)\right\}}$

este finită. Se pare că aplicarea acestei definiții la teoria corpurilor oferă definiția obișnuită a extinderii algebrice. Grupul Galois^⁠(d) al N peste M poate fi din nou definit ca grup de automorfisme, și reiese că majoritatea teoriei grupurilor Galois poate fi dezvoltată pentru cazul general.

Note

1. en Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.
2. en Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453.
3. en Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.
4. en Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
5. en Malik, Mordeson, Sen (1997), Example 21.1.17, p. 451.
6. Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
7. en Fraleigh (2014), Example 31.8, p. 285.
8. en See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.
9. en Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288.
10. en Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.
11. en Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280.
12. en Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.
13. en Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287.
14. en Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.
15. en Lang (2002) p.228

Vezi și

• extindere normală

Bibliografie

• en Fraleigh, John B. (2014), A First Course in Abstract Algebra, Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7 
• en Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0 
• en Lang, Serge (1993), „V.1:Algebraic Extensions”, Algebra (ed. Third), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001 
• en Malik, D. B.; Mordeson, John N.; Sen, M. K. (1997), Fundamentals of Abstract Algebra, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0 
• en McCarthy, Paul J. (1991) [corrected reprint of 2nd edition, 1976], Algebraic extensions of fields, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl 0768.12001 
• en Roman, Steven (1995), Field Theory, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081 
• en Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 9780130878687