Închidere algebrică

În matematică, în special în algebra abstractă, o închidere algebrică a unui corp K este o extindere algebrică a lui K care este închis algebric. Este una dintre multele închideri din matematică.

Folosind lema Zorn[1][2][3] sau mai slaba ultrafiltrare din teoria mulțimilor,[4][5] se poate arăta că fiecare corp are o închidere algebrică și că închiderea algebrică a unui corp K este unică până la un izomorfism care fixează fiecare membru al K. Datorită acestei unicități esențiale, se vorbește adesea despre „închiderea algebrică a lui K” în loc de „o închidere algebrică a lui K”.

Închiderea algebrică a corpului K poate fi considerată a fi cea mai mare extindere algebrică a lui K. Pentru a vedea asta este de reținut că dacă L este orice extindere algebrică a lui K, atunci închiderea algebrică a lui L este, de asemenea, o închidere algebrică a lui K, și așa L este cuprins în închiderea algebrică a lui K. Închiderea algebrică a lui K este, de asemenea, cel mai mic câmp închis algebric care conține K, deoarece dacă M este un corp închis algebric care conține K, atunci elementele din M care sunt algebrice pe K formează o închidere algebrică a lui K.

Închiderea algebrică a unui corp K are aceeași cardinalitate ca și K dacă K este infinit, un infinit numărabil dacă K este finit.[3]

Exemple

• Teorema fundamentală a algebrei afirmă că închiderea algebrică a corpului numerelor reale este corpul numerelor complexe.
• Închiderea algebrică a corpului numerelor raționale este corpul numerelor algebrice.
• Există multe corpuri închise algebric numărabile în numerele complexe și care conțin strict corpul numerelor algebrice; acestea sunt închiderile algebrice ale extinderilor transcendente ale numerelor raționale, de exemplu închiderea algebrică a ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi ).}$
• Închiderea algebrică a corpului finit al puterilor de ordinul q ale numerelor prime este un corp infinit numărabil care conține o copie a corpului puterilor de ordinul q^n pentru fiecare număr întreg pozitiv n (și este de fapt reuniunea acestor copii).[6]

Note

1. en McCarthy (1991) p.21
2. en M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969). Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley publishing Company. pp. 11–12.
3. ^ en Kaplansky (1972) pp.74-76
4. en Banaschewski, Bernhard (1992), „Algebraic closure without choice.”, Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383–385, doi:10.1002/malq.19920380136, Zbl 0739.03027 
5. en Mathoverflow discussion
6. en Brawley, Joel V.; Schnibben, George E. (1989), „2.2 The Algebraic Closure of a Finite Field”, Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields, Contemporary Mathematics, 95, American Mathematical Society, pp. 22–23, ISBN 978-0-8218-5428-0, Zbl 0674.12009 .

Bibliografie

• en Kaplansky, Irving (1972). Fields and rings. Chicago lectures in mathematics (ed. Second). University of Chicago Press. ISBN 0-226-42451-0. Zbl 1001.16500. 
• en McCarthy, Paul J. (1991). Algebraic extensions of fields (ed. Corrected reprint of the 2nd). New York: Dover Publications. Zbl 0768.12001.