Endecagramă

Endecagramă regulată
Cele patru stelări ale endecagonului regulat
Tip	figură poligonală regulată
Laturi și vârfuri	11
Simbol Schläfli	{11/2}, {11/3}, {11/4}, {11/5}
Diagramă Coxeter	, , ,
Grup de simetrie	Diedrală (D11), ordin 22
Unghi interior (grade)	≈114,545° {11/2} ≈81,8182° {11/3} ≈49,0909° {11/4} ≈16,3636° {11/5}
Proprietăți	poligon stelat, echilateral, izogonal, izotoxal

În geometrie o endecagramă este un poligon stelat cu unsprezece vârfuri,[1] cu simbolurile Schläfli {11/2}, {11/3}, {11/4}, respectiv {11/5}.

Denumirea endecagramă combină prefixul numeric endeca-[2] cu sufixul -gramă, care derivă din greacă γραμμῆ, care înseamnă o dreaptă.[3]

Endecagrame regulate

Există patru endecagrame regulate,[4] care pot fi descrise de simbolurile Schläfli {11/2} (mica endecagramă), {11/3} (endecagramă [mediană]), {11/4} (marea endecagramă), respectiv {11/5} (larga endecagramă), în care primul număr este numărul vârfurilor, iar cel de după bara oblică este pasul stelării endecagonului regulat.[5]

Deoarece 11 este un număr prim, toate endecagramele sunt poligoane stelate, nu compuși poligonali.

Construcție

Ca și în cazul tuturor poligoanelor regulate cu un număr impar de laturi și poligoanelor stelate ale căror ordin nu sunt produse de numere Fermat prime distincte, endecagramele regulate nu pot fi construite cu rigla și compasul.[6] Totuși, există metode de a construi endecagramele {11/3}, {11/4} și {11/5} din benzi de hârtie împăturite.[7]

Aplicații

Prismele endecagramice {11/3} și {11/4} pot fi folosite pentru a aproxima forma moleculelor de ADN.[8]

O stea cu 11 colțuri la Mausoleul Momine Khatun

Sulul Topkapı conține imagini ale unei stele girih cu 11 colțuri, folosită în arta islamică. Steaua din acest sul nu este una dintre formele obișnuite ale endecagramei, ci folosește drepte care leagă vârfurile unui endecagon cu punctele din mijloacele laturilor aproape opuse ale endecagonului.[9] Steaua girih cu 11 colțuri se regăsește pe exteriorul Mausoleului Momine Khatun (în română Mausoleul Doamnei Momine). Eric Broug scrie că acest model „poate fi considerat un punct culminant în desenul geometric islamic”.[10]

Camera de ardere (spațiul gol) de la propulsoarele cu combustibil solid ale navetelor spațiale americane avea o secțiune în formă de stea cu 11 colțuri. Această formă a oferit o suprafață mai mare și o tracțiune mai mare la începutul lansării și o rată de ardere mai lentă, respectiv o tracțiune mai mică după ce părțile stelei dinspre mijloc au fost arse, aproximativ după ce naveta a trecut de bariera sunetului.[11]

Poliedre endecagramice

Pe baza celor patru endecagrame se pot construi prismele, antiprismele și retroprismele endecagramice corespunzătoare.

Prismă 11-2	Prismă 11-3	Prismă 11-4	Prismă 11-5
Antiprismă 11-2	Antiprismă 11-3	Antiprismă 11-4	Antiprismă 11-5
		Retroprismă 11-7	Retroprismă 11-6

Note

1. en „Between a square rock and a hard pentagon: Fractional polygons”. 28 septembrie 2017. 
2. „endeca” la DEX online
3. en Liddell, Henry George; Scott, Robert (1940), A Greek-English Lexicon: γραμμή, Oxford: Clarendon Press 
4. en O'Daffer, Phares G.; Clemens, Stanley R. (1976), Geometry: an investigative approach, Addison-Wesley, Exercise 7, p. 62, ISBN 9780201054200 
5. en Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (2008), Elementary Geometry, Student mathematical library, 43, American Mathematical Society, p. 96, ISBN 9780821890677 
6. en Carstensen, Celine; Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (2011), Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry, and Cryptography, Sigma series in pure mathematics, 11, Walter de Gruyter, p. 88, ISBN 9783110250084, On the other hand a regular 11-gon is not constructible. 
7. en Hilton, Peter; Pedersen, Jean (1986), „Symmetry in mathematics”, Computers & Mathematics with Applications, 12 (1-2): 315–328, doi:10.1016/0898-1221(86)90157-4, MR 0838152 
8. en Janner, Aloysio (iunie 2001), „DNA enclosing forms from scaled growth forms of snow crystals”, Crystal Engineering, 4 (2–3): 119–129, doi:10.1016/S1463-0184(01)00005-3 
9. en Bodner, B. Lynn (2009), „The eleven–pointed star polygon design of the Topkapı Scroll”, Bridges 2009: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture (PDF), pp. 147–154 
10. en Broug, Eric (2013), Islamic Geometric Design, Thames & Hudson, p. 182 
11. en Angelo, Joseph A. (2009), Encyclopedia of Space and Astronomy, Infobase Publishing, p. 511, ISBN 9781438110189 

Bibliografie

• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 2)