Născut în Cascante, Navarra, Remiro s-a alăturat sistemului de tineret al lui Athletic Bilbao în 2009, la vârsta de 14 ani. Și-a făcut debutul ca senior cu Basconia în sezonul 2012–13, în Tercera División.
Pe 26 mai 2014, Remiro a fost promovat cu echipa de rezerve în Segunda División B.[2] A fost numit prima alegere după plecarea lui Kepa Arrizabalaga în ianuarie,[3] și a încheiat sezonul cu 23 de apariții – inclusiv play-off-uri – întorcându-se în Segunda División după o absență de 19 ani.[4]
Remiro și-a făcut debutul profesionist pe 24 august 2015, începând cu o înfrângere cu 0-1 pe teren propriu împotriva lui Girona.[5] La 22 iunie a anului următor, a fost promovat la prima echipă în La Liga.
Remiro a fost împrumutat la Levante UD, pe 1 iulie 2016, pentru un an.[6] Cu toate acestea, a fost rechemat de clubul său în următoarea fereastră de transfer din cauza unei accidentări a lui Kepa.[7]
La 21 iulie 2017, Remiro s-a mutat la SD Huesca în divizia a doua, cu un împrumut pe un an.[8] A avut un rol major la clubul aragonez, promovând echipa pentru prima dată în istoria lor, ratând doar un meci din 42.[9]
La întoarcerea sa pe stadionul San Mamés, Remiro părea pregătit să joace cu prima echipă după ce Kepa a fost transferat la Chelsea, iar celălalt portar, Iago Herrerín, a suferit o accidentare.[10] Cu toate acestea, reprezentanții săi nu au reușit să cadă de acord asupra condițiilor unui nou contract cu clubul și, ca răspuns, subalternul său, Unai Simón, a fost ales să joace în primul meci din noul sezon împotriva lui CD Leganés;[11] cu Simón stabilit în echipă și fără soluționare a disputei contractuale, câteva săptămâni mai târziu s-a confirmat că Remiro dorea să părăsească Athletic și acest lucru avea să se întâmple pe 30 iunie 2019.[12]
Real Sociedad
Remiro a acceptat un contract de patru ani cu rivalii lui Athletic, Real Sociedad, pe 10 iunie 2019, în vigoare de la 1 iulie.[13] Și-a făcut debutul în campionat pe 27 septembrie, într-o victorie cu 3-0 pe teren propriu împotriva lui Deportivo Alavés.[14]
În mai 2020, Remiro a fost testat pozitiv pentru COVID-19.[15] În 3 aprilie a anului următor, a început în finala întârziată a Copa del Rey, ajutând la înfrângerea primului său club, Athletic, cu 1–0 la Sevilla. Pe 31 octombrie, a fost consolat de foștii coechipieri la sfârșitul unui alt derby basc din cauza suferinței sale evidente după ce a primit golul egalări în ultimele minute într-o încercare greșită de a lovi mingea, când o victorie ar fi plasat Real Sociedad în fruntea clasamentului.[16]