Velocidade angular

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler
v d e

A velocidade angular descreve a velocidade de uma rotação. A direção do vector velocidade angular será ao redor do eixo de rotação neste caso, em sentido anti-horário.

A velocidade angular de uma partícula ou de um corpo rígido descreve a taxa com que a sua orientação muda. Ela é análoga à velocidade translatorial, e é definida nos termos da derivação da orientação com respeito ao tempo, assim como a velocidade translatorial é a derivação da posição em função do tempo. Costuma-se introduzir o conceito de velocidade se definindo primeiramente a velocidade média como sendo o deslocamento dividido pelo tempo. Neste ponto a analogia com a velocidade angular não é de grande utilidade pois, por exemplo, caso um corpo esteja rodando a uma velocidade angular constante de uma revolução por minuto, ao fim de um período de um minuto a 'velocidade angular média' do corpo seria de zero, pois a orientação é exatamente a mesma que a do início do período de tempo ao final de uma rotação.

Mais precisamente, se ${\displaystyle A(t)}$ é a transformação ortogonal linear especial que descreve a orientação, a velocidade angular é definida como ${\displaystyle A(t)^{-1}{d \over dt}A(t)}$. Disso segue que a velocidade angular é uma transformação skew-adjoint linear. É útil restringir a atenção a duas ou três dimensões e representar a álgebra de Lie tridimensional das transformações lineares skew-adjoint para V${\displaystyle {}_{3}}$(R) por R³. O comutador, que é o produto da álgebra de Lie, é representado pelo produto vetorial em R³. O resto deste artigo possui sua discussão utilizando este estilo.

Vector velocidade angular

A velocidade angular é um vetor com uma quantidade física que representa o processo de rotação (mudança de orientação) que ocorre em um instante de tempo. Para um corpo rígido se suplementa a velocidade translatorial do centro de massa para se descrever seu movimento completo. Ela é comumente representada pelo símbolo ômega (Ω ou ω). A magnitude da velocidade angular é a frequência angular, representada por ω. A linha de direção da velocidade angular é dada pelo eixo de rotação, e a regra da mão direita indica a direção positiva, da seguinte forma:

Se você enrolar os dedos de sua mão direita seguindo a direção da rotação, então a direção da velocidade angular é indicada pelo seu polegar direito.

Nas unidades do SI, a velocidade angular é medida em radianos por segundo (rad/s), apesar de uma direção ter que ser especificada. As dimensões da velocidade angular são T ^-1, pois os radianos são adimensionais.

Para qualquer partícula de um corpo em movimento ou rotação temos:

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{t}+{\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{c})}$

onde

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$ é a velocidade total da partícula
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{t}}$ é a velocidade translacional
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$ é a posição da partícula
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{c}}$ é a posição do centro do corpo.

Para descrever o movimento, o "centro" pode ser qualquer partícula ou ponto imaginário do corpo que esteja rigidamente conectado ao mesmo (o vetor de translação depende desta escolha), porém tipicamente o centro de massa é utilizado, pois esta escolha simplifica algumas fórmulas.

Quanto o produto vetorial é escrito sobre a forma de uma matriz, nós temos um matriz antissimétrica com zeros na diagonal principal e componentes positivos e negativos da velocidade angular como os outros elementos.

Com uma aceleração angular constante, a velocidade angular obedece às equações de movimento rotacional, equivalentes às equações de movimento sobre uma aceleração linear constante.

A frequência angular é também utilizada no lugar da frequência comum em situações que não envolvem rotação, especialmente na eletrônica, pois elas geram senóides e varias equações que são obtidas através de cálculos em senoides simples. (ωt ao invés de 2πft).

O caso do movimento não circular

Se o movimento da partícula é descrito por uma função com um valor-vetor de posição r(t), com respeito a uma origem fixa, então o vetor velocidade angular é dado por:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\mathbf {r} \times \mathbf {v} \over |\mathbf {r} |^{2}}\qquad \qquad (1)}$

onde :${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {r'} (t)}$ é o vetor velocidade linear.

A equação (1) é aplicável a movimentos não circulares, tais como órbitas elípticas.

Derivação

O vetor v pode ser representado com um par de componentes: ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ que é perpendicular a r, e ${\displaystyle \mathbf {v} _{\|}}$ que é paralelo a r. O movimento do componente paralelo é completamente linear e não produz nenhuma rotação da partícula (com relação à origem), então para o propósito de encontrar a velocidade angular este pode ser ignorado. I movimento da componente perpendicular é completamente circular, pois este é perpendicular ao vetor radial, como qualquer tangente em um ponto de um círculo.

A componente perpendicular possui a magnitude

${\displaystyle |\mathbf {v} _{\perp }|={|\mathbf {r} \times \mathbf {v} | \over |\mathbf {r} |}\qquad \qquad (2)}$

aonde o vetor ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }$ representa a área do paralelogramo cujos dois dos lados são os vetores r e v. Dividindo esta área pela magnitude de r temos a altura deste paralelogramo entre r e o lado do paralelogramo paralelo a r. Esta altura é igual componente v, que é perpendicular a r.

No caso de um movimento puramente circular, a velocidade angular é igual à velocidade linear dividida pelo raio. No caso de um movimento generalizado, a velocidade linear é substituída pela componente perpendicular a r, temos.

${\displaystyle \omega ={|\mathbf {v} _{\perp }| \over |\mathbf {r} |}\qquad \qquad (3)}$

portanto, colocando as equações (2) e (3) juntas chegamos a

${\displaystyle \omega ={|\mathbf {r} \times \mathbf {v} | \over |\mathbf {r} |^{2}}=|{\boldsymbol {\omega }}|.\qquad \qquad (4)}$

A equação (4) nos dá a magnitude do vetor velocidade angular. A direção deste vetor é dada por sua versão normalizada:

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}={\mathbf {r} \times \mathbf {v} \over |\mathbf {r} \times \mathbf {v} |}.\qquad \qquad (5)}$

Então o vetor velocidade angular completo é dado quando juntamos sua magnitude e sua direção:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega {\hat {\boldsymbol {\omega }}}}$

que, devido às equações (4) e (5), é igual a

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\mathbf {r} \times \mathbf {v} \over |\mathbf {r} |^{2}},}$

que foi demonstrada anteriormente.

Ver também

• (Introdutório)
  • Deslocamento
  • Momento angular
  • Aceleração angular
  • Frequência angular
  • Velocidade areal
  • Movimento circular

• (Avançado)
  • Isometria
  • Grupo ortogonal
  • Grupo de rotação

Ligações externas

• Rotations and Angular Momentum on the Classical Mechanics page of the website of John Baez, especially Questions 1 and 2.

• Peter M. Neumann; Gabrielle A. Stoy; Edward C. Thompson. Groups and Geometry, Oxford 1994, ISBN 01798534515. See pp. 108-110, 163-165 .

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