Mecânica clássica de Koopman-von Neumann

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler
v d e

A mecânica clássica de Koopman-von Neumann ou mecânica KvN, é uma descrição da mecânica clássica em termos do espaço de Hilbert, introduzida por Bernard Koopman e John von Neumann em 1931 e 1932.[1][2][3] Koopman e von Neumann demonstraram que um espaço de Hilbert de funções de onda quadráticas integráveis[4] e complexas pode ser definido de uma forma que a mecânica clássica posa ser formulada como uma teoria operativa semelhante à mecânica quântica.

Analogia quântica

Sendo explicitamente baseado na linguagem espacial de Hilbert, a mecânica clássica de KvN adota muitas técnicas da mecânica quântica, por exemplo, técnicas de diagrama[5] e perturbação, bem como métodos integrais funcionais.[6][7][8] A abordagem KvN é muito geral e foi estendida a sistemas dissipativos,[9] mecânica relativista[10] e teoria clássica de campos.[11][12]

Propagação KvN vs propagação de Wigner

• A evolução do tempo da função de onda KvN clássica para o potencial Morse[13]: ${\displaystyle U(x)=20(1-e^{-0.16x})^{2}}$. Os pontos negros são partículas clássicas seguindo a lei de movimento de Newton. As linhas sólidas representam o conjunto de níveis do Hamiltoniano ${\displaystyle H(x,p)=p^{2}/2+U(x)}$. Este vídeo ilustra a diferença fundamental entre a mecânica KvN e Liouville.
• Contrapartida quântica da propagação KvN clássica à esquerda: A evolução do tempo de função de Wigner[14] do potencial Morse em unidades atômicas (a.u.). As linhas representam o conjunto de níveis do hamiltoniano subjacente. Note que a mesma condição inicial utilizada para esta propagação quântica, bem como para a propagação KvN à esquerda.

Referências

1. Koopman, B. O. (1931). «Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Space». Proceedings of the National Academy of Sciences. 17 (5). 315 páginas. Bibcode:1931PNAS...17..315K. doi:10.1073/pnas.17.5.315 
2. von Neumann, J. (1932). «Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik». Annals of Mathematics. 33 (3): 587–642. JSTOR 1968537. doi:10.2307/1968537 
3. von Neumann, J. (1932). «Zusatze Zur Arbeit "Zur Operatorenmethode..."». Annals of Mathematics. 33 (4): 789–791. JSTOR 1968225. doi:10.2307/1968225 
4. Sansone, G (1991). Orthogonal Functions (em inglês). [S.l.]: Dover. p. 1–2. ISBN 978-0-486-66730-0 
5. Liboff, R. L. (2003). Kinetic theory: classical, quantum, and relativistic descriptions (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 9780387955513 
6. Daniell, P. J. (Julho de 1919). «Integrals in An Infinite Number of Dimensions». The Annals of Mathematics. Second Series. 20 (4): 281–288. JSTOR 1967122. doi:10.2307/1967122 
7. Gozzi, E. (1988). «Hidden BRS invariance in classical mechanics». Physics Letters B. 201 (4): 525–528. Bibcode:1988PhLB..201..525G. doi:10.1016/0370-2693(88)90611-9 
8. Gozzi, E.; Reuter, M.; Thacker, W. (1989). «Hidden BRS invariance in classical mechanics. II». Physical Review D. 40 (10). 3363 páginas. Bibcode:1989PhRvD..40.3363G. doi:10.1103/PhysRevD.40.3363 
9. Chruściński, D. (2006). «Koopman's approach to dissipation». Reports on Mathematical Physics. 57 (3): 319–332. Bibcode:2006RpMP...57..319C. doi:10.1016/S0034-4877(06)80023-6 
10. Renan Cabrera; Bondar; Rabitz (2011). «Relativistic Wigner function and consistent classical limit for spin 1/2 particles». quant-ph. arXiv:1107.5139 
11. Bondar, D.; Cabrera, R.; Lompay, R.; Ivanov, M.; Rabitz, H. (2012). «Operational Dynamic Modeling Transcending Quantum and Classical Mechanics». Physical Review Letters. 109 (19). 190403 páginas. Bibcode:2012PhRvL.109s0403B. PMID 23215365. arXiv:1105.4014. doi:10.1103/PhysRevLett.109.190403 
12. Carta, P.; Gozzi, E.; Mauro, D. (2006). «Koopman–von Neumann formulation of classical Yang–Mills theories: I». Annalen der Physik. 15 (3). 177 páginas. Bibcode:2006AnP...518..177C. arXiv:hep-th/0508244. doi:10.1002/andp.200510177 
13. Girifalco, L. A.; Weizer, G. V. (1959). «Application of the Morse Potential Function to cubic metals». Phys. Rev. 114 (3). p. 687. Bibcode:1959PhRv..114..687G. doi:10.1103/PhysRev.114.687 
14. E. P. Wigner (1932). «On the quantum correction for thermodynamic equilibrium». Phys. Rev. 40 (5): 749–759. Bibcode:1932PhRv...40..749W. doi:10.1103/PhysRev.40.749 

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