Sistema massa-mola

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler
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O sistema massa-mola é um modelo utilizado na Física para estudo das oscilações de partículas.[1]

Sistema massa-mola simples

O sistema massa-mola simples é constituído por um corpo de massa m acoplado a uma mola com fator restaurador k (constante de deformação), enquanto a outra extremidade está ligada a um ponto fixo, conforme mostrado na Figura 1.

Representação em 3D do sistema massa-mola.

Figura 1 - Sistema massa-mola.

Consideremos que o sistema encontra-se em equilíbrio, com a posição de equilíbrio da massa denotada por 0 (x = 0). Se a massa é deslocada da posição de equilibrio, uma força restauradora tenta trazê-la de volta à situação inicial. As posições -x_M e x_M denotam, respectivamente, as posições de extensão e compressão máxima da mola.

Para pequenos deslocamentos, a forca restauradora é proporcional ao deslocamento sofrido pela mola. $${\displaystyle F=-kx}$$Se o bloco de massa m é deslocado em relação à posição inicial e solto em seguida, o sistema passa a oscilar em torno da posição de equilíbrio. Aplicando a segunda lei de Newton para analisar esse sistema, teremos a seguinte relação

${\displaystyle F=m{\ddot {x}}=-kx}$

A sua solução é da forma ${\displaystyle x=x_{m}\cos {\omega }_{0}t}$ onde

${\displaystyle {\omega }_{0}={\sqrt[{2}]{k \over m}}}$

é a frequência de oscilação natural do sistema.

Sistema massa-mola composto

Se acoplarmos a esse sistema massa-mola a outro conforme mostrado na Figura 2 e aplicarmos novamente as leis de Newton teremos para as massas m₁ e m₂, respectivamente, ${\displaystyle m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-kx_{1}-k(x_{1}-x_{2})}$ e ${\displaystyle m_{2}{\ddot {x}}_{2}=-kx_{2}-k(x_{2}-x_{1})}$.

As soluções para tais equações também serão oscilatórias, porém agora encontraremos duas freqüências de oscilação para o sistema e não apenas uma como no caso anterior. As novas freqüências permitidas serão

${\displaystyle {\omega }_{1}={\sqrt[{2}]{3k \over m}}}$ e ${\displaystyle {\omega }_{2}={\sqrt[{2}]{k \over m}}}$

Figura 2: Duas massas acopladas uma a outra por uma mola e a posições fixas também por molas.

Se agora tivermos três massas acopladas, teremos três novas frequências de oscilação diferentes. Analogamente, se tivermos N massas acopladas teremos N modos normais correspondentes. Mostrando que a interação entre as massas faz com que apareçam novas frequências, abrindo o espectro de frequências permitidas.

A Figura 3 mostra o espectro de frequências de um sistema de acordo com o número de massas.

Figura 3: Espectro de frequências de acordo con o número n de massas acopladas.

Consideremos agora o sistema massa-mola ilustrado na Figura 4 formado por infinitos conjuntos massa-mola desacoplados, cada par massa-mola individualmente nessa forma possui um dado modo normal de vibração (uma freqüência natural de oscilação), todos os pares possuem o mesmo modo normal e a Hamiltoniana que contempla esse sistema é dá forma:

${\displaystyle H_{o}=\sum _{j=0}^{\infty }E_{o}\mid \phi _{j}\rangle \langle \phi _{j}\mid }$

Figura 4: Sistema infinito de pares massa-mola desacoplados.

com representação matricial:

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}\ddots \\&E_{o}&0&0&0\\&0&E_{o}&0&0\\&0&0&E_{o}&0\\&0&0&0&E_{o}\\&&&&&\ddots \end{pmatrix}}}$

Se acoplamos esses pares da forma mostrada na Figura 5 a nova hamiltoniana do sistema será:

${\displaystyle H=\sum _{j=1}^{\infty }E_{o}\mid \phi _{j}\rangle \langle \phi _{j}\mid +\sum _{j=1}^{\infty }J(\mid \phi _{j}\rangle \langle \phi _{J+1}\mid +\mid \phi _{j+1}\rangle \langle \phi _{J}\mid )}$

Figura 5: Sistema infinito de pares massa-mola acoplados.

Sua representação matricial é da forma

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}\ddots \\&E_{o}&-A&0&0\\&-A&E_{o}&-A&0\\&0&-A&E_{o}&-A\\&0&0&-A&E_{o}\\&&&&&\ddots \end{pmatrix}}}$

Vemos, portanto que ao acoplar os osciladores o seu espectro de freqüências se abre permitindo novas freqüências diferentes individuais de cada par massa-mola. Um efeito semelhante ocorre quando juntamos vários átomos para formar uma cadeia linear. Ou seja, o sistema mostrado na Figura 4 é análogo a uma cadeia linear de átomos acoplados, apesar do fato de ser apenas um modelo clássico.

Referências

1. «Experimento de montagem de modelo massa-mola e estudo das oscilações» (PDF) 

Bibliografia

• MARRION, J.B.; THORNTON, S.T. Classical Dynamics of Particles & Systems, 1995.
• COHEN-TANNOUDJI, C.; DIU, B.; LALOË, F. Quantum Mechanics, 1ª edição. Wiley, Vol. 2, p.1442-1446, 1977.