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Comutador (matemática)Na matemática, o comutador indica o "quanto" uma operação binária falha em ser comutativa. Diferentes definições são usadas em teoria dos grupos e teoria dos anéis. Teoria dos gruposEm teoria dos grupos, o comutador de dois elementos ( e ) de um grupo G é dado por:
O conjunto dos comutadores, não é fechado no produto (logo não é um subgrupo; mas o menor grupo em que isto ocorre tem ordem 96 [carece de fontes]). O subgrupo gerado pelos comutadores, G' é chamado de subgrupo comutador, e tem várias propriedades importantes (ele é um subgrupo normal, o quociente G/G' é abeliado, etc). Vale também que um grupo é abeliano se, e somente se, seu subgrupo comutador é o subgrupo trivial de um elemento: Teoria dos anéisEm teoria dos anéis o comutador de dois elementos de um anel é dado por
O comutador de e é zero se e somente se os elementos e comutam. Ver também |
![{\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87495055902ee8caee67b2645802bd3192d68c5)
![{\displaystyle \{[g,h]\in G\ |\ \forall \ g,h\in G\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309e368b34021d9f8a68ea4cfadf9798e87116df)
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bf78c808a8f58515d59d520bdfac43cf80114f)
