Tensor de tensão de Maxwell

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O tensor de tensão de Maxwell (em homenagem a James Clerk Maxwell) é um tensor simétrico de segunda ordem em três dimensões que é usado no eletromagnetismo clássico para representar a interação entre as forças eletromagnéticas e o momento mecânico. Em situações simples, como uma carga pontual movendo-se livremente em um campo magnético homogêneo, é fácil calcular as forças sobre a carga a partir da lei de força de Lorentz. Quando a situação se torna mais complicada, esse procedimento comum pode se tornar impraticável, com equações abrangendo várias linhas. Portanto, é conveniente coletar muitos desses termos no tensor de tensão de Maxwell e usar a aritmética de tensores para encontrar a resposta para o problema em questão.

Na formulação relativística do eletromagnetismo, os nove componentes do tensor de tensão de Maxwell aparecem, negados, como componentes do tensor eletromagnético de tensão–energia, que é o componente eletromagnético do tensor de tensão–energia total. Este último descreve a densidade e o fluxo de energia e momento no espaço-tempo.

Motivação

Conforme descrito abaixo, a força eletromagnética é escrita em termos de ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$. Usando o cálculo vetorial e as equações de Maxwell, a simetria é procurada nos termos contendo ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$, e a introdução do tensor de tensão de Maxwell simplifica o resultado.

Equações de Maxwell em unidades SI em vácuo
(para referência)

Nome	Forma diferencial
Lei de Gauss (no vácuo)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
Lei de Gauss para magnetismo	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0}$
Equação de Maxwell – Faraday (Lei de indução de Faraday)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
Lei dos circuitos de Ampère (no vácuo) (com a correção de Maxwell)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$

1. Começando com a lei de força de Lorentz

   $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\\[3pt]&=\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau \end{aligned}}}$$ a força por unidade de volume é

   $${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$$
2. Em seguida, ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle \mathbf {J} }$ podem ser substituídos pelos campos ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$, usando a lei de Gauss e a lei dos circuitos de Ampère: $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} }$$
3. A derivada do tempo pode ser reescrita para algo que pode ser interpretado fisicamente, ou seja, o vetor de Poynting. Usando a regra do produto e a lei de indução de Faraday dá $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )}$$ e agora podemos reescrever ${\displaystyle \mathbf {f} }$ como $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),}$$ então coletar termos com${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ dá $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$
4. Um termo parece estar "faltando" da simetria em ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$, o que pode ser obtido inserindo ${\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} }$ por causa da lei de Gauss para o magnetismo: $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$ Eliminando as ondulações (que são bastante complicados de calcular), usando a identidade de cálculo vetorial $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,}$$ leva a: $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$
5. Essa expressão contém todos os aspectos do eletromagnetismo e do momento e é relativamente fácil de calcular. Pode ser escrito de forma mais compacta introduzindo o tensor de tensão de Maxwell, $${\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right).}$$ Todos, exceto o último termo de ${\displaystyle \mathbf {f} }$ podem ser escritos como a divergência do tensor de tensão de Maxwell, dando: $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,,}$$ Como no teorema de Poynting, o segundo termo no lado direito da equação acima pode ser interpretado como a derivada temporal da densidade de momento do campo eletromagnético, enquanto o primeiro termo é a derivada temporal da densidade de momento para as partículas massivas. Desta forma, a equação acima será a lei de conservação do momento na eletrodinâmica clássica; onde o vetor de Poynting foi introduzido $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}$$

na relação acima para a conservação do momento, ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$ é a densidade do fluxo de momento e desempenha um papel semelhante a ${\displaystyle \mathbf {S} }$ no teorema de Poynting.

A derivação acima assume conhecimento completo de ambos ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle \mathbf {J} }$ (tanto cargas livres quanto limitadas e correntes). Para o caso de materiais não lineares (como ferro magnético com uma curva BH), o tensor de tensão de Maxwell não linear deve ser usado.[1]

Equação

Na física, o tensor de tensão de Maxwell é o tensor de tensão de um campo eletromagnético. Conforme derivado acima, é dado por:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$,

onde ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ é a constante elétrica e ${\displaystyle \mu _{0}}$ é a constante magnética, ${\displaystyle \mathbf {E} }$ é o campo elétrico, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ é o campo magnético e ${\displaystyle \delta _{ij}}$ é o delta de Kronecker. No sistema gaussiano, é dado por:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)}$,

onde ${\displaystyle \mathbf {H} }$ é o campo magnetizante.

Uma forma alternativa de expressar este tensor é:

${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]}$

onde ${\displaystyle \otimes }$ é o produto diádico, e o último tensor é a díade unitária:

${\displaystyle \mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} \right)}$

O elemento ${\displaystyle ij}$ do tensor de tensão de Maxwell tem unidades de momento por unidade de área por unidade de tempo e fornece o fluxo de momento paralelo ao ${\displaystyle i}$-ésimo eixo cruzando uma superfície normal ao ${\displaystyle j}$-ésimo eixo (na direção negativa) por unidade de tempo.

Essas unidades também podem ser vistas como unidades de força por unidade de área (pressão negativa), e o elemento ${\displaystyle ij}$ do tensor também pode ser interpretado como a força paralela ao ${\displaystyle i}$-ésimo eixo sofrida por uma superfície normal ao ${\displaystyle j}$-ésimo eixo por unidade de área. De fato, os elementos diagonais fornecem a tensão (puxando) atuando em um elemento de área diferencial normal ao eixo correspondente. Ao contrário das forças devido à pressão de um gás ideal, um elemento de área no campo eletromagnético também sente uma força em uma direção que não é normal ao elemento. Este cisalhamento é dado pelos elementos fora da diagonal do tensor de tensão.

Foi demonstrado recentemente que o tensor de tensão de Maxwell é a parte real de um tensor de tensão eletromagnético complexo mais geral, cuja parte imaginária é responsável pelas forças eletrodinâmicas reativas. [2]

Na magnetostática

Se o campo for apenas magnético (o que é amplamente verdadeiro em motores, por exemplo), alguns dos termos desaparecem e a equação em unidades S.I. torna-se:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}$

Para objetos cilíndricos, como o rotor de um motor, isso é ainda mais simplificado para:

${\displaystyle \sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.}$

onde ${\displaystyle r}$ é o cisalhamento na direção radial (para fora do cilindro) e ${\displaystyle t}$ é o cisalhamento na direção tangencial (ao redor do cilindro). É a força tangencial que gira o motor. ${\displaystyle B_{r}}$ é a densidade de fluxo na direção radial, e ${\displaystyle B_{t}}$ é a densidade de fluxo na direção tangencial.

Na eletrostática

Na eletrostática, os efeitos do magnetismo não estão presentes. Neste caso, o campo magnético desaparece, ou seja, ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} }$, e obtemos o tensor de tensão de Maxwell eletrostático. Ele é dado na forma de componentes por:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}$

e na forma simbólica por:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }$

onde ${\displaystyle \mathbf {I} }$ é o tensor de identidade apropriado ${\displaystyle {\big (}}$geralmente ${\displaystyle 3\times 3{\big )}}$.

Autovalor

Os autovalores do tensor de tensão de Maxwell são dados por:

${\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}$

Esses autovalores são obtidos pela aplicação iterativa do lema dos determinantes da matriz, em conjunto com a fórmula de Sherman e Morrison.

Observando que a matriz de equação característica, ${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } }$, pode ser escrita como

${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$

onde

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}$

definimos

${\displaystyle \mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}$

Aplicando o lema do determinante de matriz uma vez, isso nos dá

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}}$

Aplicá-lo novamente produz,

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}}$

A partir do último multiplicando no RHS, vemos imediatamente que ${\displaystyle \lambda =-V}$ é um dos autovalores.

Para encontrar o inverso de ${\displaystyle \mathbf {U} }$ , usamos a fórmula de Sherman-Morrison:

${\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}}$

Fatorando um termo ${\displaystyle \left(-\lambda -V\right)}$ no determinante, resta-nos encontrar os zeros da função racional:

${\displaystyle \left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}$

Assim, uma vez que resolvemos

${\displaystyle -\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0}$

obtemos os outros dois autovalores.

Ver também

• Cálculo de Ricci
• Pressão magnética
• Tensão magnética
• Tensor eletromagnético de tensão–energia
• Vetor de Poynting

Referências

1. Brauer, John R. (13 de janeiro de 2014). Magnetic actuators and densors (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118754979 
2. Nieto-Vesperinas, Manuel; Xu, Xiaohao (12 de outubro de 2022). «The complex Maxwell stress tensor theorem: The imaginary stress tensor and the reactive strength of orbital momentum. A novel scenery underlying electromagnetic optical forces». Light: Science & Applications (em inglês). 11 (1): 297. PMC 9556612. PMID 36224170. doi:10.1038/s41377-022-00979-2 

• David J. Griffiths, "Introduction to electrodynamics" (em inglês) páginas  351 – 352, Benjamin Cummings Inc., 2008
• John David Jackson, "Classical electrodynamics" (em inglês), 3ª edição, John Wiley & Sons, Inc., 1999
• Richard Becker, "Electromagnetic fields and interactions" (em inglês), Dover publications Inc., 1964