A lei de Gauss para o magnetismo pode ser escrita de duas maneiras: a forma diferencial e a forma integral. Ambas maneiras são equivalentes graças ao teorema da divergência
O nome “lei de Gauss para o magnetismo”[1] não é usado universalmente. A lei também é chamada de “Ausência de polos magnéticos livres”;[2] uma referência até explicitamente diz que a lei “não tem nome”.[3] Ela também pode ser referida como “exigência de transversalidade”,[4] porque para ondas planas ela requer que a polarização seja transversal à direção de propagação.
Forma diferencial
A forma diferencial para a lei de Gauss para o magnetismo é:
A parte esquerda dessa equação é chamada de fluxo líquido de campo magnético para fora da superfície, e a lei de Gauss para o magnetismo diz que isso é sempre zero.
As formas diferencial e integral da lei de Gauss para o magnetismo são matematicamente equivalentes, devido ao teorema da divergência. Dito isso, pode ser mais conveniente usar uma ou outra em uma situação particular.
A lei nessa forma implica que para cada elemento de volume no espaço, existem exatamente o mesmo número de “linhas de campo magnético” entrando e saindo do volume. Nenhuma “carga magnética total” pode existir em nenhum ponto do espaço. Por exemplo, um polo sul magnético é exatamente tão forte quanto um polo norte magnético, e polos sul livres no espaço, sem polos norte acompanhando, não são permitidos. Em contraste, isso não é verdadeiro para outros campos, como campos elétricos e campos gravitacionais, onde cargas elétricas ou massas totais podem existir em um volume do espaço.
Perceba que há mais de uma possibilidade para A que satisfaça essa equação para um dado campo B. Na verdade, há infinitas soluções: qualquer vetor na forma ᐁɸ (gradiente) pode ser adicionado a A para se conseguir uma escolha alternativa para A, pelas identidades (ver identidades de cálculo vetorial):
O campo magnético B, como qualquer outro campo vetorial, pode ser descrito via linhas de campo (também chamadas de linhas de fluxo) – ou seja, um conjunto de curvas cuja direção corresponde à direção de B e cuja densidade areal é proporcional à magnitude de B. A lei de Gauss para o magnetismo é equivalente à afirmação de que as linhas de campo não têm nem começo nem fim: cada uma delas forma um ciclo fechado, serpenteia para sempre, sem nunca voltar a si mesma exatamente, ou se estende ao infinito.
Modificação caso monopolos magnéticos existam
Se monopolos magnéticos forem descobertos, então a lei de Gauss para o magnetismo iria dizer que o divergente de B seria proporcional à densidade de carga magnética ρm, analogamente à lei de Gauss para campos elétricos. Para uma densidade líquida de carga magnética nula (ρm = 0), a forma original da lei de Gauss do magnetismo é o resultado.
Até hoje, nenhum monopólio magnético foi encontrado, apesar de buscas extensas.
História
A ideia da inexistência de monopolos magnéticos originou-se em 1269 por Petrus Peregrinus de Maricourt. O seu trabalho influenciou fortemente William Gilbert, cuja obra De Magnete, de 1600, espalhou a ideia além. No começo do século XIX, Michael Faraday reintroduziu essa lei e ela consequentemente fez o seu caminho até chegar nas equações de James Clerk Maxwell para campos eletromagnéticos.
Computação numérica
Na computação numérica, a solução numérica pode não satisfazer a lei de Gauss para o magnetismo devido a erros de discretização dos métodos numéricos. Entretanto, em muitos casos – como, por exemplo, para a magneto-hidrodinâmica – é importante preservar a lei de Gauss para o magnetismo precisamente (até a precisão da máquina). A violação da lei de Gauss do magnetismo a nível discreto introduzirá uma forte força não física. Tendo em vista a conservação de energia, a violação dessa condição leva a uma integral de energia não conservativa, e o erro é proporcional ao divergente do campo magnético.[7]