Sinal (matemática)

Os sinais “mais” e “menos” são utilizados para mostrar o sinal de um número inteiro, racional ou real.

Em matemática, a palavra sinal refere-se à propriedade de ser positivo ou negativo. Todos os números inteiros diferentes de zero são positivos ou negativos, e tem portanto um sinal, embora o positivo seja normalmente, graficamente, omitido. O mesmo ocorre para os números racionais ou reais não nulos (para os números complexos, por outro lado, não pode-se definir um sinal global, só sinais para as partes real e imaginária, já que não são um conjunto que admita um ordem compatível com a multiplicação).[1]

O sinal de um número é representado com os sinais mais e menos, «+» e «−». A palavra «sinal» também é utilizada para referir-se a estes símbolos matemáticos, entre outros (como o sinal de multiplicação).

A origem da regra dos sinais da multiplicação, tal como a conhecemos hoje, é, geralmente, atribuída a Diofanto de Alexandria.[2][3]

Sinal de um número

Ver artigo principal: Número negativo

Em matemática (e suas aplicações) é necessário às vezes representar quantidades menores que zero. Existem diversos exemplos:

• Temperatura: a zero graus Celsius, 0°C, a água congela; entretanto, é possível esfriar ainda mais o gelo e outras substâncias, e tais temperaturas são portanto menores que 0°C.
• Altitude: em geografia, a altitude de um ponto é medida em relação ao nível do mar. Algumas zonas deprimidas podem estar abaixo do nível do mar, e portanto sua altitude é menor que zero metros, 0 m.

Os números menores que zero são números negativos e para representá-los lhes é adicionado um sinal menos, «−».

“

Um número negativo é representado como um número ordinário com um sinal menos anterior: −1, −3/4, −53,7, etc.

”

Todos os números negativos são consequentemente menores que zero: −2 < 0 , −7/2 < 0, etc. Os números maiores que zero, como 1, 7, 13/5, ..., são números positivos, e para distinguí-los melhor dos negativos, lhe é adicionado um sinal mais «+» anterior:

“

Um número positivo é representado como um número ordinário com um sinal mais anterior: +4, +7/11, +21,4, etc.

”

Assim que 5 e +5 representam o mesmo número. Como os números positivos são maiores que zero tem-se que : 5 > 0 , 9,4 > 0 , etc.

O sinal de um número é portanto uma maneira de tratar tanto do símbolo que o precede, como da propriedade que tem esse número de ser maior ou menor que zero.

É habitual também distinguir entre a propriedade de ser positivo e a propriedade de ser não negativo, e ‘’vice versa’’. Como seu próprio nome indica, um número que é não negativo não é negativo, pelo que o é positivo ou é o zero:

“

• Um número não negativo é um número que ou é positivo, ou é zero. • Um número não positivo é um número que ou é negativo, ou é zero.

”

Uma maneira de representar isso é mediante os símbolos «maior ou igual» e «menor ou igual», ≥ e ≤. Os números não negativos são maiores ou iguais a zero, ≥ 0; e os números não positivos são menores ou iguais a zero, ≤ 0.

Sinal de zero

Ver artigo principal: Zero

O zero, 0, não é um número positivo nem negativo, já que não é maior nem menor que si mesmo. Entretanto, pode ser representado com sinal mais ou menos, +0 ou −0, indistintamente, já que não causa nenhuma ambiguidade nas operações aritméticas.

(Em alguns contextos, o sinal de zero pode ser relevante, de forma que +0 e −0 representem coias distintas. Ver zero com sinal.)

Regra dos sinais

A regra dos sinais resume o comportamento do produto de números positivos e negativos. O produto dos números positivos é evidentemente um número positivo, igualmente pode-se argumentar intuitivamente que o produto de um número negativo por um positivo é negativo. Menos intuitivo é o fato de que o produto dos números negativos é um número positivo. A regra de signos se expressa mediante quatro partes:

${\displaystyle (+)\cdot (+)=(+)}$ (o produto de dois números positivos é positivo)

${\displaystyle (-)\cdot (-)=(+)}$ (o produto de dois números negativos é um número positivo)

${\displaystyle (+)\cdot (-)=(-)}$ (o produto de um número positivo e um negativo é negativo), e pela propriedade comutativa da multiplicação,

${\displaystyle (-)\cdot (+)=(-)}$ (o produto de um número negativo e um positivo é negativo)

Função sinal

Ver artigo principal: Função sinal

A função sinal.

A função sinal, sgn(x) é uma função que só depende do sinal do número sobre o qual atua. Isto significa que sgn(x) tem um certo valor para todos os números positivos, outro certo valor para todos os números negativos, e outro para zero. Mais concretamente, a função sinal é:

“

${\displaystyle {\text{sgn}}(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}-1&{\text{si}}&x<0\\0&{\text{si}}&x=0\\1&{\text{si}}&x>0\end{array}}\right.}$

”

Existência de sinal

O fato de que o sinal pode ser definido em um conjunto de números que formam um anel requer sua definição uma relação de ordem total e conjunto de números positivos (ou noção de positividade)

O sinal pode ser definido sempre que possa definir-se a noção de positividade ou conjunto de números positivos P que satisfaz as seguintes condições:

1. Dados dois números a e b que pertencem a P, então a + b pertencem a P.
2. Dados dois números a e b que pertencem a P, então a · b pertencem a P.
3. Se ${\displaystyle \scriptstyle c\in P}$ só uma das seguintes proposições é válida:

${\displaystyle c\in P,\qquad c=0,\qquad -c\in P}$

onde ${\displaystyle -c\,}$ designa o elemento oposto em relação à soma.

O fato que os números complexos não admitam um sinal compatível com o definido para os números reais se reflete em que tanto a suposição de que ${\displaystyle \scriptstyle i\ >\ 0}$ e ${\displaystyle \scriptstyle i\ <\ 0}$ conduzem à contradição:

Se ${\displaystyle \scriptstyle 0\ <\ i}$ isso implicaría que ${\displaystyle \scriptstyle 0\ <\ i\cdot i\ =\ -1}$

Se ${\displaystyle \scriptstyle 0\ >\ i}$ então ${\displaystyle \scriptstyle -i\ >\ 0}$ e isso implicaría que ${\displaystyle \scriptstyle 0\ <\ (-i)\cdot (-i)\ =\ -1}$

Nos dois casos se obtém uma contradição.

Para os corpos finitos tampouco se pode definir a noção de sinal já que ao ser cíclicos em relação à multiplicação existe um n tal que:

${\displaystyle \overbrace {a+\dots +a} ^{n}=-a}$

Pela primeira condição que define o conjunto dos positivos, se ${\displaystyle \scriptstyle a>0}$ então o primeiro termo deve ser positivo, mas pela terceira condição ${\displaystyle \scriptstyle -a<0}$, o que é uma contradição.

Significados de sinal

Sinal de um ângulo

Medindo-se a partir do eixo x, os ângulos sobre o círculo unitário contam como positivos na direção anti-horária, e negativos na direção horária.

Em muitos contextos, é comum para associar um sinal com a medida de um ângulo, particularmente um ângulo orientado ou um ângulo de rotação. Em tal situação, o sinal indica se o ângulo é no sentido horário ou no sentido anti-horário. Através de diferentes convenções tal pode ser usado, sendo comum em matemática ter-se ângulos no sentido anti-horário considerados como positivo, e os ângulos no sentido horário considerados como negativo.

É igualmente possível associar um sinal para um ângulo de rotação, em três dimensões, assumindo que o eixo de rotação tenha sido orientado. Especificamente, uma rotação “destra” (dextrogira) em torno de um eixo orientado normalmente conta como positivo, enquanto uma rotação “canhota” (sinistrogira) conta como negativa.

Sinal de uma alteração

Quando uma grandeza x altera-se ao longo do tempo, a alteração no valor de x é tipicamente definida pela equação

${\displaystyle \Delta x=x_{\text{final}}-x_{\text{initial}}.\,}$

Usando essa convenção, um aumento em x conta como uma mudança positiva, enquanto que uma diminuição de x conta como variação negativa. Em cálculo, esta mesma convenção é utilizada na definição de derivada. Como resultado, qualquer aumento da função tem derivada positiva, enquanto que uma função decrescente tem derivada negativa.

Sinal de uma direção

Em geometria analítica e física, é comum rotular determinadas direções como positivas ou negativas. Para um exemplo básico, a reta numérica é geralmente desenhada com números positivos para a direita e números negativos para a esquerda:

Como resultado, quando se discute movimento retilíneo, deslocamento ou velocidade à direita é geralmente considerado como sendo positivo, enquanto movimento similar à esquerda é pensado como sendo negativo.

No plano cartesiano, as indicações à direita e ascendentes são geralmente consideradas como positivas, com sendo para a direita a direção x positivo, e para cima, sendo a direção de y positivo. Se um deslocamento ou vetor velocidade é separado em seus vetores componentes, em seguida, a parte horizontal será positiva para o movimento para a direita e negativo para o movimento para a esquerda, enquanto que a parte vertical será positivo para o movimento para cima e negativo para movimento descendente.

Sinal em computação

bit mais significativo
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
A maioria dos computadores usam complemento para dois par representar o sinal de um inteiro.

Em computação, um valor inteiro pode ser assinado ou não assinado, dependendo se o computador está mantendo o controle de um sinal para o número. Ao restringir a um número inteiro uma variável somente para valores não-negativos, mais um bit pode ser usado para armazenar o valor de um número. Devido à forma inteira aritmética ser realizada dentro de computadores, o sinal de uma variável inteiro assinado geralmente não é armazenado como um único bit independente, mas em vez disso é armazenada utilizando complemento de dois ou alguma outra representação de números com sinal.

Em contraste, os números reais são armazenados e manipulados como valores de ponto flutuante. Os valores de ponto flutuante são representados com três valores distintos, mantissa, expoente e sinal. Dado este ‘’bit’’ de sinal separado, é possível representar ambos zero positivo e negativo. A maioria das linguagens de programação normalmente trata de zero positivo e zero negativo como valores equivalentes, embora elas forneçam meios pelos quais a distinção possa ser detectada.

Outros significados

Carga elétrica pode ser positiva ou negativa.

Em adição ao sinal de um número real, a palavra sinal é também usada em vários meios relacionados entre matemática e ciência:

• A expressão até o sinal significa que para uma grandeza q sabe-se tanto q = Q como q = −Q para certo Q. Isso é frequentemente expresso como q = ±Q. Para números reais, isso significa que somente o valor absoluto |q| da grandeza é conhecido. Para números complexos e vetores, uma grandeza conhecida “até o sinal” é uma condição mais forte que uma grandeza que conhece-se a magnitude: à parte Q e −Q, existem muitos outros valores possíveis de q tais que |q| = |Q|.
• O sinal de uma permutação é definido como sendo positivo se a permutação é par, e negativa se a permutação é ímpar.
• Em teoria dos grafos, um grafo assinalado é um grafo no qual cada aresta tenha sido marcada com um sinal positivo ou negativo.[4]
• Em análise matemática, uma medida com sinal é uma generalização do conceito de medida no qual a medida de um conjunto pode ter valores positivos ou negativos.
• Em uma representação de dígitos assinalados, cada dígito de um número pode ter um sinal positivo ou negativo.
• As ideias de área assinalada e volume assinalado às vezes são usadas quando é conveniente para determinadas áreas ou volumes serem contadas negativas. Isto é particularmente verdadeiro na teoria de determinantes.
• Em física, qualquer carga elétrica vem com um sinal, positivo ou negativo. Por convenção, uma carga positiva é uma carga com o mesmo sinal que a de um próton, e uma carga negativa é uma carga com o mesmo sinal que a de um elétron.

Referências

1. COSTA, M. A. As idéias fundamentais da matemática e outros ensaios. São Paulo: Grijalbo e Editora da USP, 1971.
2. BALL, W.W. R. A short account of the history of mahematics. New York: Dover, 1960.
3. Moretti, Méricles T.. (2012). A regra dos sinais para a multiplicação: ponto de encontro com a noção de congruência semântica e o princípio de extensão em matemática. ‘’Bolema: Boletim de Educação Matemática, 26(42b), 691-714.
4. Aderaldo Irineu Levartoski de Araujo; Aninhamento em Redes Bipartidas; Tese de Doutorado; Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), Centro de Ciências Exatas e da terra, Departamento de Física Teórica e Experimental, Curso de Pós-Graduação em Física, Natal, ‎2009. Citação: “Um grafo assinalado S é uma rede não direcionada cujos valores funcionais são +1 ou -1. Referimo-nos a cada aresta do grafo assinalado como sendo positiva ou negativa.”