Grupo quociente

Em matemática, o grupo quociente G/N pode ser entendido, de forma intuitiva, ao se considerar em um grupo G e um seu subconjunto N como se os elementos de N fossem igualados ao elemento neutro.

Mais precisamente, seja N um subconjunto do grupo G. Então o grupo quociente G/N é um grupo de subconjuntos de G, sendo N o elemento neutro deste grupo, satisfazendo:

${\displaystyle x,y\in G,X,Y\in G/N,x\in X,y\in Y\implies xy\in XY\,}$

Prova-se que a condição necessária e suficiente para que esta operação seja bem-definida e torne G/N um grupo é que N seja um subgrupo normal de G.

Exemplos

${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ pode ser visto como um subgrupo normal de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}$, cujas classes laterais (denotadas com cores distintas) formam um grupo cíclico com 3 elementos.

• O conjunto ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ dos múltiplos de um número inteiro positivo n é um subgrupo normal de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ e ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ é o grupo cíclico com n elementos.
• Se n divide m, então ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ pode ser visto como um subgrupo normal de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ e ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}/\mathbb {Z} _{n}}$ é isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m/n}}$.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ é um subgrupo normal de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ é isomorfo ao grupo circular ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$.
• Seja ${\displaystyle S_{n}\,}$ o grupo das permutações de um conjunto de n elementos, e ${\displaystyle A_{n}\,}$ o subgrupo normal das permutações pares. Então ${\displaystyle S_{n}/A_{n}\,}$ é isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.

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