Grupo fundamental

O grupo fundamental de um toro é gerado pelas duas curvas a e b.

O grupo fundamental é o primeiro dos grupos de homotopia. Este grupo mede a conectividade de um espaço topológico. Um espaço topológico com grupo fundamental trivial diz-se simplesmente conexo.

Definição

Seja ${\displaystyle X\,}$ um espaço topológico e ${\displaystyle x\in X}$ um ponto. O grupo fundamental de ${\displaystyle X\,}$ baseado em ${\displaystyle x\,}$, representado por ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\,}$ é definido pelo conjunto das classes de homotopia dos lacetes centrados em ${\displaystyle x\,}$ onde impomos a operação de grupo induzida pela operação justaposição: se ${\displaystyle \gamma \,}$ e ${\displaystyle \gamma '\,}$ são lacetes centrados em ${\displaystyle x\,}$, e ${\displaystyle [\,\,]\,}$ indica a classe de homotopia, então ${\displaystyle [\gamma ][\gamma ']=[\gamma *\gamma ']\,}$.

Toda curva ${\displaystyle \gamma \,}$ de ${\displaystyle x\,}$ a ${\displaystyle y\,}$ define um homomorfismo de grupos entre ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\,}$ e ${\displaystyle \pi _{1}(X,y)\,}$ por ${\displaystyle \gamma _{*}[\alpha ]=[\gamma ^{-1}*\alpha *\gamma ],}$. Este homomorfismo é inversível e logo, é um isomorfismo de grupos. Assim, quando ${\displaystyle X\,}$ é conexo por arcos, o ponto base não tem qualquer influência no grupo fundamental, ou seja, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\,}$ é isomorfo a ${\displaystyle \pi _{1}(X,y)\,}$, para quaisquer ${\displaystyle x,y\in X}$.

Aplicações contínuas e homomorfismos

Se ${\displaystyle f:X\to Y\,}$ é uma aplicação contínua tal que ${\displaystyle f(x)=y\,}$, então ela induz um homomorfismo ${\displaystyle f_{*}\,}$ entre ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\,}$ e ${\displaystyle \pi _{1}(Y,y)\,}$ dado por ${\displaystyle f_{*}[\gamma ]=[f\circ \gamma ]\,}$. Se esta aplicação for um homeomorfismo, então o homomorfismo de grupos induzido é um isomorfismo. Um fato importante é que ${\displaystyle f_{*}([\gamma ]*[\gamma ']=[f\circ \gamma ]*[f\circ \gamma ']\,}$.

Functorialidade

Seja ${\displaystyle Top_{*}\,}$ a categoria dos espaços topológicos com base em um ponto. Isto é, a categoria cujos objetos são duplas ${\displaystyle (X,x)\,}$, onde o primeiro elemento é um espaço topológico e o segundo um ponto pertencente a ele, e os morfismos ${\displaystyle f:(X,x)\to (Y,y)\,}$ são aplicações contínuas ${\displaystyle f:X\to Y\,}$ tal que ${\displaystyle f(x)=y\,}$. Então ${\displaystyle \pi _{1}\,}$ pode ser visto como um functor entre ${\displaystyle Top_{*}\,}$ e ${\displaystyle Grp\,}$. Isso implica entre outras coisas que dois espaços topológicos conexos por caminhos com grupos fundamentais diferentes não podem ser homeomorfos.

Referências

• Munkres, James R. (2000). Topology. [S.l.]: Prentice Hall, Incorporated. ISBN 9780131816299 .
• Munkres, James R. (1997). Elements of Algebraic Topology. [S.l.]: Mir. 454 páginas. ISBN 5855012034 
• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0521795400 
• Joseph J., Rotman (1988). An Introduction to Algebraic Topology. [S.l.]: Springer. ISBN 0387966781 

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