Em astrofísica, a equação de Lane-Emden é uma equação diferencial ordinária que modeliza a estrutura interna de um sistema termodinâmico descrito pela equação de estado de um fluido politrópico auto-gravitante, ou seja, sujeito somente a influência de sua própria massa. A equação é obtida a partir da hipótese adicional de simetria esférica, que exclui as situações em que os sistemas possuem movimento de rotação.
Essa equação determina o perfil de pressão, densidade e temperatura em alguns casos de interesse físico, como o gás ideal e o gás degenerado de férmions à temperatura nula nas situações não-relativística e ultra-relativística. Esses modelos permitem uma descrição simples de anãs brancas e outros astros compactos, nos quais a pressão de degenerescência tem um papel importante.
A equação de Lane-Emden recebe o seu nome em homenagem aos astrofísicos Jonathan Lane e Robert Emden, sendo Lane quem primeiro propôs esta equação em 1870. Lord Kelvin e A. Ritter fizeram contribuições importantes ao estudo dessa equação no século XIX, assim como Ralph H. Fowler e Subrahmanyan Chandrasekhar nos anos 1930.
os subescritos "c" referem-se aos valores de referência da adimensionalização e são normalmente escolhidos os valores encontrados no centro do politropo. A condição de simetria esférica implica necessariamente que a derivada é nula em :
O valor de em , pode ser obtido a partir do valor da densidade:
onde C é uma constante e é um número não inferior a 1 chamado de constante adiabática. A constante adiabática se relaciona com índice do politropo pela relação:
.
O fluido está submetido à força gerada pelo seu próprio campo gravitacional. Esta força é radial e aponta para o centro da estrutura. A magnitude da força gravitacional é denotada pela letra g é considerada uma função da distância ao centro r:
do teorema das cascas esféricas a força gravitacional dentro de uma estrutura com simetria esférica é dado pela expressão:
onde é massa total contida até a distância r do centro:
aqui é densidade do fluido à distância s do centro.
A equação de estado (1) sugere definir , de forma que:
e assim, obtemos:
E conclui-se o desenvolvimento, introduzindo uma nova mudança de variáveis, rescalonando o raio:
Soluções da equação
A equação pode ser resolvida analiticamente quando n = 0, 1 or 5:
n =
0
1
5
=
ζ0 =
∞
Aqui, ζ0 indica o primeiro zero da solução.
Caso n = 0
O caso descreve um politropo em que a densidade é uniforme (isocórico). O problema neste caso é linear e é dado por:
É fácil ver que a solução geral da equação é dada por:
a condição de a solução estar definida na origem implica e a condição implica . A solução é, portanto, dado por:
, cuja derivada vale:
, que, de fato, se anula na origem.
Caso n = 1
No caso , o problema é novamente linear e recai numa equação de Bessel esférica de índice 0:
A solução geral desta equação é dada por:
Da mesma forma, como foi feito para o caso , e , observando que:
e, portanto, a solução é dada por:
cuja derivada vale:
cujo limite quando é nulo.
Soluções singulares
Quando se desconsideram as condições iniciais, a equação de Lane-Emden possui soluções singulares na origem para todo , ou seja, da seguinte forma:
,
onde
.
Transformações da Equação de Lane-Emden
Substituindo , a equação reduz à
Substituindo (transformação de Kelvin), a equação se transforma em:
As transformações de Emden consistem em fazer a seguinte mudança de variáveis:
que satisfaz a seguinte relação:
Esta mudança aplicada à equação na forma dada pela transformação de Kelvin, conduz a:
Este equação pode ser simplificada ainda mais pela introdução de mais uma nova variável:
que reduz a última equação a:
Expansão em séries de Taylor
Pode-se encontrar uma expressão para a solução da Equação de Lane-Emden em torno de através do método de Frobenius, que consiste em expandir a solução em série de Taylor:
As condições iniciais implicam diretamente:
os outros coeficientes devem ser obtidos substituindo a série de na equação. Este procedimento resulta em:
(em inglês) Horedt, George Paul ( 1986 ) 5.9MB PDF, Astrophysics and Space Science vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357-408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.
(em inglês) Subrahmanyan Chandrasekhar, An Introduction to the Study of Stellar Structure, 1939, Dover Publications, Inc