Crescimento demográfico (equação diferencial)

A taxa de aumento de uma população é a soma das taxas de natalidade (${\displaystyle n}$) e migração (${\displaystyle g}$), menos a taxa de mortalidade (${\displaystyle m}$)

${\displaystyle a=n+g-m}$

O aumento da população num instante dado é igual ao produto da população nesse instante vezes a taxa de aumento da população; se a população no instante ${\displaystyle t}$ for representada pela função ${\displaystyle P(t)}$, o aumento da população será também igual à derivada de ${\displaystyle P}$[1]

${\displaystyle {dP \over dt}=aP}$

Para poder resolver esta equação é preciso conhecer a dependência de ${\displaystyle a}$ com o tempo. Veremos dois casos simples

Modelo de Malthus

Se a taxa de aumento da população (${\displaystyle a}$) for constante a equação diferencial anterior será uma equação de variáveis separáveis

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {dP}{P}}=\int adt+C\\&P=P_{0}e^{at}\end{aligned}}}$

Onde ${\displaystyle P_{0}}$ é a população em ${\displaystyle t=0}$. Este modelo pode ser uma boa aproximação em certo intervalo, mas tem o inconveniente que a população cresce sem limite.

Modelo logístico

Considera-se uma taxa de mortalidade que aumenta diretamente proporcional à população, com taxas de natalidade e migração constantes. A taxa de aumento da população é assim

${\displaystyle b-kP}$

com ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle k}$ constantes. A equação diferencial obtida é uma equação de Bernoulli

${\displaystyle {dP \over dt}=bP-kP^{2}}$

Neste modelo a população não cresce indiscriminadamente, pois a medida que ${\displaystyle P}$ aumenta, a taxa de aumento diminui chegando eventualmente a ser nula e nesse momento ${\displaystyle P}$ permanece constante. Por meio da substituição ${\displaystyle u=1/P}$ obtém-se uma equação linear

${\displaystyle {du \over dt}=-bu+k}$

Que pode ser resolvida multiplicando os dois lados pelo fator integrante ${\displaystyle \exp(bt)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}{\bigg (}ue^{bt}{\bigg )}&=&k\int e^{bt}dt+C\\{\frac {1}{P}}&=&{\frac {k}{b}}+Ce^{-bt}\end{aligned}}}$

A população aproxima-se assimptoticamente do valor limite ${\displaystyle b/k}$.[1]

Ver também

• Equação diferencial
• Equação diferencial linear
• Equação diferencial de Bernoulli

Referências

1. Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). Porto: [s.n.] 120 páginas. Consultado em 13 de julho de 2013 

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