Eletromagnetismo clássico e relatividade especial

Este artigo é sobre a contribuição da relatividade especial para a teoria moderna do eletromagnetismo clássico. Para a contribuição do eletromagnetismo clássico para o desenvolvimento da relatividade especial, ver História da relatividade especial.

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Eletromagnetismo
Electricidade Magnetismo História [en] Livros didáticos [en]
Eletrostática Carga elétrica Lei de Coulomb Condutor Densidade de carga Permissividade Momento do dipolo elétrico Campo elétrico Potencial elétrico Fluxo elétrico / energia potencial Descarga electrostática Lei de Gauss Indução Isolante Densidade de polarização Eletricidade estática Efeito triboelétrico
Magnetostática Lei de Ampère Lei de Biot – Savart Lei de Gauss para o magnetismo Campo magnético Fluxo magnético Momento do dipolo magnético Permeabilidade magnética Potencial escalar magnético Magnetização [en] Força magnetomotriz Vetor potencial magnético Regra da mão direita [en]
Eletrodinâmica Lei da força de Lorentz Indução eletromagnética Lei de Faraday Lei de Lenz Corrente de deslocamento Equações de Maxwell Campo eletromagnético Pulso eletromagnético Radiação eletromagnética Tensor de Maxwell Vetor de Poynting Potentiais de Liénard – Wiechert Equações de Jefimenko Corrente de Foucault Equações de London [en] Descrições matemáticas do campo eletromagnético [en]
Circuito elétrico Corrente alternada Capacitância Corrente contínua Corrente elétrica Eletrólise Densidade de corrente elétrica Lei de Joule Força eletromotriz Impedância Indutância Lei de Ohm Circuito paralelo Resistência [en] Cavidades ressonantes [en] Circuito em série Tensão elétrica Guias de onda
Formulação covariante [en] Tensor eletromagnético (Tensor de tensão–energia) Quadricorrente Quadripotencial eletromagnético
Cientistas Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Henry Hertz Hopkinson Jefimenko [en] Joule Lenz Liénard Lorentz Maxwell Neumann Ørsted Ohm Poynting Ritchie [en] Savart Singer [en] Steinmetz Tesla Thomson Volta Weber Wiechert Poisson
v d e

A teoria da relatividade especial desempenha um papel importante na teoria moderna do eletromagnetismo clássico. Ela fornece fórmulas de como os objetos eletromagnéticos, em particular os campos elétricos e magnéticos, são alterados sob uma transformação de Lorentz de um referencial inercial para outro. Ela lança luz sobre a relação entre eletricidade e magnetismo, mostrando que o quadro de referência determina se uma observação segue leis magnéticas ou elétricas. Isso motiva uma notação compacta e conveniente para as leis do eletromagnetismo, ou seja, a forma de tensor "manifestamente covariante".

As equações de Maxwell, quando foram formuladas pela primeira vez em sua forma completa em 1865, seriam compatíveis com a relatividade restrita.[1] Além disso, as aparentes coincidências nas quais o mesmo efeito foi observado devido a diferentes fenômenos físicos por dois observadores diferentes seriam mostradas como não coincidentes de forma alguma pela relatividade especial. Na verdade, metade do primeiro artigo de Einstein de 1905 sobre a relatividade especial, "Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento" [en], explica como transformar as equações de Maxwell.

Transformação dos campos entre referenciais inerciais

Os campos E e B

Reforço de Lorentz de uma carga elétrica.

Acima: A carga está em repouso no referencial F, então este observador vê um campo elétrico estático. Um observador em outro referencial F′ se move com velocidade v em relação a F e vê a carga se mover com velocidade −v com um campo elétrico E alterado devido à contração do comprimento e um campo magnético B devido ao movimento da carga.

Abaixo: configuração semelhante, com a carga em repouso no referencial F′.

Esta equação considera dois referenciais inerciais. O referencial primário está se movendo, em relação ao referencial secundário, na velocidade v. Os campos definidos no referencial primário são indicados por primos, e os campos definidos no referencial secundário carecem de primos. As componentes de campo paralelas à velocidade v são denotadas por ${\displaystyle \mathbf {E} _{\parallel }}$ e ${\displaystyle \mathbf {B} _{\parallel }}$ enquanto as componentes de campo perpendiculares a v são denotadas como ${\displaystyle \mathbf {E} _{\perp }}$e ${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$. Nesses dois referenciais, movendo-se a uma velocidade relativa v, os campos E e B estão relacionados por:[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E_{\parallel }} '&=\mathbf {E_{\parallel }} \\\mathbf {B_{\parallel }} '&=\mathbf {B_{\parallel }} \\\mathbf {E_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end{aligned}}}$

onde

${\displaystyle \gamma \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

é chamado de fator de Lorentz e c é a velocidade da luz no espaço livre. As equações acima estão no S.I. Em C.G.S., essas equações podem ser derivadas substituindo ${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}}$ por ${\displaystyle {\frac {1}{c}}}$, e ${\displaystyle v\times B}$ por ${\displaystyle {\frac {1}{c}}v\times B}$, exceto ${\displaystyle \gamma }$. O fator de Lorentz (${\displaystyle \gamma }$) é o mesmo em ambos os sistemas. As transformações inversas são as mesmas, exceto v → −v.

Uma expressão alternativa equivalente é:[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {B} '&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} \Vert }}}$ é o vetor unitário de velocidade. Com as notações anteriores, na verdade temos ${\displaystyle (\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {E} _{\parallel }}$ e ${\displaystyle (\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {B} _{\parallel }}$.

Componente por componente, para o movimento relativo ao longo do eixo ${\displaystyle \mathbf {v} =(v,0,0)}$, isso resulta no seguinte:

${\displaystyle {\begin{aligned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}}$

Se um dos campos for zero em um referencial, isso não significa necessariamente que seja zero em todos os outros referenciais. Isso pode ser visto, por exemplo, tornando o campo elétrico primário nulo na transformação para o campo elétrico ativado. Nesse caso, dependendo da orientação do campo magnético, o sistema primário pode ver um campo elétrico, embora não exista nenhum no sistema secundário.

Isso não significa que dois conjuntos de eventos completamente diferentes são vistos nos dois referenciais, mas que a mesma sequência de eventos é descrita de duas maneiras diferentes (consulte Problema do ímã e do condutor em movimento abaixo).

Se uma partícula de carga q se move com velocidade u, em relação ao referencial S, então a força de Lorentz no referencial S é:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B} }$

No referencial S', a força de Lorentz é:

${\displaystyle \mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'} }$

Uma derivação para a transformação da força de Lorentz para o caso particular u = 0 é dada aqui.[4] Uma mais geral pode ser vista aqui.[5]

As transformações nesta forma podem ser mais compactas introduzindo o tensor eletromagnético (definido abaixo), que é um tensor covariante.

Os campos D e H

Para o deslocamento elétrico D e a intensidade magnética H, usando as relações constitutivas [en] e o resultado para c^2:

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \,,\quad c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,,}$

dá

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}}$

Analogamente para E e B, D e H formam o tensor de deslocamento eletromagnético [en].

Os campos φ e A

Uma alternativa mais simples de transformação do campo eletromagnético usa os potenciais eletromagnéticos - o potencial elétrico φ e o potencial magnético A:[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '&=\gamma \left(\varphi -vA_{\parallel }\right)\\A_{\parallel }'&=\gamma \left(A_{\parallel }-{\frac {v\varphi }{c^{2}}}\right)\\A_{\bot }'&=A_{\bot }\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle \scriptstyle A_{\parallel }}$ é a componente paralela de A à direção da velocidade relativa entre os referenciais v, e ${\displaystyle \scriptstyle A_{\bot }}$ é a componente perpendicular. Estes assemelham-se transparentemente à forma característica de outras transformações de Lorentz (como posição de tempo e momento de energia), enquanto as transformações de E e B acima são um pouco mais complicadas. Os componentes podem ser coletados juntos como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\frac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\varphi '&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}}$

Os campos ρ e J

Analogamente para a densidade de carga ρ e a densidade de corrente J,[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\parallel }'&=\gamma \left(J_{\parallel }-v\rho \right)\\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{c^{2}}}J_{\parallel }\right)\\J_{\bot }'&=J_{\bot }\end{aligned}}}$

Coletando componentes juntas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Aproximações não relativísticas

Para velocidades v ≪ c, o fator relativístico γ ≈ 1, que produz:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\\mathbf {B} '&\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \\\mathbf {J} '&\approx \mathbf {J} -\rho \mathbf {v} \\\rho '&\approx \rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} \end{aligned}}}$

de modo que não há necessidade de distinguir entre as coordenadas espaciais e temporais nas equações de Maxwell.

Relação entre eletricidade e magnetismo

“	Uma parte da força entre as cargas em movimento chamamos de força magnética. É realmente um aspecto de um efeito elétrico.	”
—  Richard Feynman[7]

Derivando o magnetismo a partir de leis elétricas

Ver artigo principal: Eletromagnetismo relativístico

O quadro de referência escolhido determina se um fenômeno eletromagnético é visto como um efeito magnético ou elétrico ou uma combinação dos dois. Os autores geralmente derivam o magnetismo da eletrostática quando a relatividade especial e a invariância de carga [en] são levadas em consideração. The Feynman lectures on physics (vol. 2, cap. 13–6) usa este método para derivar a força magnética na carga em movimento paralelo próximo a um fio condutor de corrente. Ver também Haskell[8] e Landau.[9]

Se a carga se mover perpendicularmente a um fio condutor de corrente, a eletrostática não poderá ser usada para derivar a força magnética. Neste caso, ela pode ser derivada considerando a compressão relativística do campo elétrico devido ao movimento das cargas no fio.[10]

Mistura de campos em referenciais diferentes

As regras de transformação acima mostram que o campo elétrico em um referencial contribui para o campo magnético em outro referencial e vice-versa.[11] Isso geralmente é descrito dizendo que o campo elétrico e o campo magnético são dois aspectos inter-relacionados de um único objeto, chamado campo eletromagnético. De fato, todo o campo eletromagnético pode ser representado em um único tensor de nível 2 chamado tensor eletromagnético; Veja abaixo.

Problema do ímã e do condutor em movimento

Um exemplo famoso da mistura de fenômenos elétricos e magnéticos em diferentes quadros de referência é chamado de "problema do ímã e do condutor em movimento", citado por Einstein em seu artigo de 1905 sobre a relatividade especial.

Se um condutor se move com uma velocidade constante através do campo de um ímã estacionário, correntes circulares serão produzidas devido a uma força magnética nos elétrons do condutor. No referencial de repouso do condutor, por outro lado, o ímã estará em movimento e o condutor estacionário. A teoria eletromagnética clássica prevê que precisamente as mesmas correntes circulares microscópicas serão produzidas, mas elas serão devidas a uma força elétrica.[12]

Formulação covariante no vácuo

As leis e objetos matemáticos no eletromagnetismo clássico podem ser escritos de uma forma que é manifestamente covariante [en]. Aqui, isso é feito apenas para o vácuo (ou para as equações microscópicas de Maxwell, não usando as descrições macroscópicas de materiais como a permissividade elétrica) e usa unidades do S.I..

Esta seção usa a notação de Einstein, incluindo a convenção de soma de Einstein. Consulte também cálculo de Ricci para obter um resumo das notações de índice tensorial e índices de aumento e diminuição para definição de índices sobrescritos e subscritos e como alternar entre eles. O tensor métrico Minkowski [en] η aqui tem assinatura métrica (+ − − −).

Tensor de campo e 4-corrente

Ver artigo principal: Tensor de campo eletromagnético

As transformações relativísticas acima sugerem que os campos elétrico e magnético estão acoplados, em um objeto matemático com 6 componentes: um tensor antissimétrico de segunda ordem, ou um bivetor [en]. Isso é chamado de tensor do campo eletromagnético, geralmente escrito como F^μν. Em forma de matriz:[13]

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

onde c a velocidade da luz - em unidades naturais c = 1.

Existe outra forma de fundir os campos elétrico e magnético em um tensor antissimétrico, substituindo E/c → B e B → − E/c, para obter o tensor dual [en] G^μν.

No contexto da relatividade especial, ambos se transformam de acordo com a transformação de Lorentz de acordo com

${\displaystyle F'^{\alpha \beta }=\Lambda _{\mu }^{\alpha }\Lambda _{\nu }^{\beta }F^{\mu \nu }}$,

onde Λ^α_ν é o tensor da transformação de Lorentz para uma mudança de um referencial para outro. O mesmo tensor é usado duas vezes na soma.

A carga e a densidade de corrente, as fontes dos campos, também se combinam no quadrivetor

${\displaystyle J^{\alpha }=\left(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$

chamado de quadricorrente.

Equações de Maxwell na forma tensorial

Ver artigo principal: en:Covariant formulation of classical electromagnetism

Usando esses tensores, as equações de Maxwell se reduzem a:[13]

Equações de Maxwell (formulação covariante)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}&=\mu _{0}J^{\beta }\\[3pt]{\frac {\partial G^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}&=0\end{aligned}}}$

onde as derivadas parciais podem ser escritas de várias maneiras, ver 4-gradiente [en]. A primeira equação listada acima corresponde tanto à lei de Gauss (para β = 0) quanto à lei de Ampère – Maxwell (para β = 1, 2, 3). A segunda equação corresponde às duas equações restantes, a lei de Gauss para o magnetismo (para β = 0) e a lei de Faraday (para β = 1, 2, 3).

Essas equações de tensores são manifestamente covariantes [en], o que significa que as equações podem ser vistas como covariantes pelas posições do índice. Esta forma abreviada de escrever as equações de Maxwell ilustra uma ideia compartilhada entre alguns físicos, ou seja, que as leis da física assumem uma forma mais simples quando escritas usando tensores.

Ao diminuir os índices de F^αβ para obter F_αβ:

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \lambda }\eta _{\beta \mu }F^{\lambda \mu }}$

a segunda equação pode ser escrita em termos de F_αβ como:

${\displaystyle \epsilon ^{\delta \alpha \beta \gamma }{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}={\dfrac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}+{\dfrac {\partial F_{\gamma \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}=0}$

onde ${\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }}$ é o símbolo de Levi-Civita contravariante. Observe a permutação cíclica dos índices nesta equação: ${\displaystyle {\begin{array}{rc}&\scriptstyle {\alpha \,\,\longrightarrow \,\,\beta }\\&\nwarrow _{\gamma }\swarrow \end{array}}}$.

Outro objeto eletromagnético covariante é o tensor eletromagnético de tensão–energia, um tensor covariante de classificação 2 que inclui o vetor de Poynting, o tensor de tensão de Maxwell e a densidade de energia eletromagnética.

4-potencial

Ver artigo principal: 4-potencial

O tensor de campo eletromagnético também pode ser escrito[14]

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}\,,}$

onde

${\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\varphi }{c}},A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,,}$

é o quadripotencial e

${\displaystyle x_{\alpha }=(ct,-x,-y,-z)}$

é a quadriposição [en]. Usando o potencial 4 no medidor de Lorenz, uma formulação alternativa manifestamente covariante pode ser encontrada em uma única equação (uma generalização de uma equação devido a Bernhard Riemann por Arnold Sommerfeld, conhecida como a equação de Riemann – Sommerfeld,[15] ou a forma covariante das equações de Maxwell[16]):

Equações de Maxwell (formulação covariante do medidor de Lorenz)

${\displaystyle \Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }}$

onde ${\displaystyle \Box }$ é o operador d'Alembertiano, ou 4-laplaciano.

Ver também

• Eletromagnetismo relativístico
• Descrições matemáticas do campo eletromagnético [en]

Referências

1. Haskell. «Questions remain about the treatment of accelerating charges – Special relativity and Maxwell's equations» [Dúvidas permanecem sobre o tratamento de cargas aceleradas – Equações de Maxwell e relatividade especial] (em inglês). Arquivado do original em 1 de janeiro de 2008 
2. Tai L. Chow (2006). «10.21». Electromagnetic theory [Teoria eletromagnética] (em inglês). Sudbury, MA: Jones and Bartlett. p. 402–403. ISBN 0-7637-3827-1 
3. Daniel, Herbert (1997), «4.5.1», Physik: Elektrodynamik, relativistische physik [Física: física relativística, eletrodinâmica], ISBN 3-11-015777-2 (em alemão), Walter de Gruyter, pp. 360–361 , Extrato das páginas 360-361
4. «Force laws and Maxwell's equations» [Equações de Maxwell e leis de força]. MathPages (em inglês) 
5. «Cópia arquivada» (PDF) (em inglês). Consultado em 6 de novembro de 2008. Arquivado do original (PDF) em 26 de fevereiro de 2009 
6. The Cambridge handbook of physics formulas (em inglês), G. Woan, Cambridge university press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
7. «1: Electromagnetism – Eletromagnetismo». The Feynman lectures on Physics [As palestras de Feynman] 🔗 (em inglês). II. [S.l.: s.n.] 
8. «New page 2» [Nova página 2] (em inglês). Consultado em 10 de abril de 2008. Arquivado do original em 1 de janeiro de 2008 
9. L. D. Landau; E. M. Lifshitz (1980). The classical theory of fields [A teoria clássica dos campos]. Col: Course of theoretical physics [en] – Curso de física teórica (em inglês). 2 4ª ed. Oxford, Reino Unido: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9 
10. Purcell, E. M.; Morin, D. J. (2013). Electricity and magnetism [Eletricidade e magnetismo] (em inglês) 4ª ed. [S.l.]: Cambridge university press. pp. 265–267. ISBN 978-1-107-01402-2  Extrato da página 265
11. Tai L. Chow (2006). Electromagnetic theory [Teoria eletromagnética] (em inglês). Sudbury, Massachusetts: Jones and Bartlett. p. 395. ISBN 0-7637-3827-1 
12. David J. Griffiths (1999). Introduction to electrodynamics [Introdução à eletrodinâmica] (em inglês) 3ª ed. [S.l.]: Prentice Hall. pp. 478 – 479. ISBN 0-13-805326-X 
13. Griffiths, David J. (1998). Introduction to electrodynamics [Introdução à eletrodinâmica] (em inglês) 3ª ed. [S.l.]: Prentice Hall. p. 557. ISBN 0-13-805326-X 
14. DJ Griffiths (1999). Introduction to electrodynamics [Introdução à eletrodinâmica] (em inglês). Saddle River, NJ: Pearson/Addison-Wesley. p. 541. ISBN 0-13-805326-X 
15. Carver A. Mead (7 de agosto de 2002). Collective electrodynamics: Quantum foundations of electromagnetism [Eletrodinâmica coletiva: fundamentos do eletromagnetismo quânticos] (em inglês). [S.l.]: M.I.T. press. pp. 37–38. ISBN 978-0-262-63260-7 
16. Frederic V. Hartemann (2002). High-field electrodynamics [Eletrodinâmica de alto campo] (em inglês). [S.l.]: CRC press. p. 102. ISBN 978-0-8493-2378-2