Sargent speelde jeugdvoetbal bij zijn school in de Verenigde Staten. In 2016 en 2017 had de aanvaller stages bij PSV en Schalke 04.[1][2] Eind 2017 tekende Sargent een verbintenis voor drieënhalf jaar bij Werder Bremen. Volgens FIFA-reglementen was hij speelgerechtigd vanaf de start van het seizoen 2018/19.[3] Op 7 december 2018 maakte de Amerikaan zijn debuut in de Bundesliga. Tegen Fortuna Düsseldorf opende Kevin Möhwald de score, waarna Dodi Lukebakio voor de gelijkmaker tekende. Sargent zag daarop Martin Harnik scoren en mocht daarna van coach Florian Kohfeldt invallen voor Milot Rashica. Twaalf minuten voor tijd besliste hij de eindstand op 3–1.[4] Aan het einde van het seizoen 2020/21 degradeerde Werder Bremen naar de 2. Bundesliga. Op dit niveau speelde Sargent twee wedstrijden, met daarin twee doelpunten.
Daarna maakte hij voor een bedrag van circa negenenhalf miljoen euro de overstap naar Norwich City, waar hij zijn handtekening zette onder een verbintenis voor de duur van vier seizoenen.[5] In zijn eerste seizoen degradeerde hij met Norwich naar het Championship. In deze competitie maakte hij dertien doelpunten tijdens het seizoen 2022/23. In oktober 2023 werd het contract van Sargent opengebroken en met drie jaar verlengd, tot medio 2028.[6]
In november 2022 werd Sargent door bondscoach Gregg Berhalter opgenomen in de selectie van de Verenigde Staten voor het WK 2022.[9] Tijdens dit WK werden de Verenigde Staten door Nederland uitgeschakeld in de achtste finales nadat in de groepsfase gelijkgespeeld was tegen Wales en Engeland en gewonnen van Iran. Sargent kwam in drie duels in actie.