放物領域。 『放物線の求積』 （ほうぶつせんのきゅうせき、ギリシア語 : Τετραγωνισμὸς παραβολῆς ）は、アルキメデス によって、紀元前3世紀 にアレクサンドリアの知人ドシテオスに宛てて執筆された、幾何学 に関する著書である。放物線 に関する24の命題を含み、放物領域（放物線と直線 で囲まれた領域）の面積が内接する三角形 の 4 / 3
アルキメデスの著作の中ではもっとも著名なものの1つであり、特に取り尽くし法 の独創的な利用と、第2章での等比級数 によって知られている。アルキメデスは求める面積を、面積比が等比級数 を成すような無限個の三角形 に分割している[ 1] ギリシア数学 （英語版 ） 背理法 の最も巧みな用法であり、彼の解法は17世紀 に積分法 の発展によってカヴァリエリの求積公式 （英語版 ） [ 2]
放物領域 （英語 : parabolic segment ）とは、放物線および直線に囲まれた領域である。放物領域の面積を求めるために、アルキメデスは特定の内接三角形を考えた。この三角形の底辺は放物線の弦 であり、3つめの頂点は放物線との接線が弦と水平になるような点に位置する。著作の命題1は3つめの頂点から軸と水平に引かれた直線は領域だと主張している。主定理は放物領域の面積はこの三角形の 4 / 3
放物領域の面積に関するアルキメデスの第1の証明。 アルキメデスの時代、放物線などの円錐曲線 は1世紀ほど前のメナイクモス のためによく知られていた。しかしながら、微分 積分学 の発見以前、円錐曲線の面積を求める容易な手法は存在しなかった。放物線と弦に囲まれた領域に着目することで、アルキメデスはこの問題に対する最初の証明付き解法を導いた[ 3]
アルキメデスは主定理に対して2通りの証明を与えている。1つは力学 理論を用いるもので、もう1つは純粋な幾何学によるものである。最初の証明において、アルキメデスは重力下で平衡状態にあるてこ （重りのある放物線の領域と三角形が、支点から一定距離にあるようなもの）を考えている[ 4] [ 5] 平面の釣合について （英語版 ） [ 6]
24の命題のうち、最初の3つはエウクレイデス の『円錐曲線論』（円錐曲線 に関するエウクレイデスの散逸した著作）から証明なしで引用されている。命題4および5は放物線の基本的性質を打ち立てている。命題6-17は主定理の力学的証明を与えている。命題18-24は幾何学的証明である。
アルキメデスの第2の証明では、面積を任意の個数の三角形に分割する。
証明の中心となる考えは、右図に示されているように放物領域を無限個の三角形に分割するというものである。これらの三角形はそれぞれ、青色の三角形が大領域に内接しているのと同じようにしてそれぞれ固有の放物領域に内接している。
命題18-21にかけて、アルキメデスは緑色の三角形の面積が青色の三角形の 1 / 8 1 / 4 1 / 2 1 / 4 [ 注釈 1]
同様の議論により、4つの黄色の三角形それぞれが緑色の 1 / 8 1 / 64 4 / 64 1 / 16 23 = 8 個の赤色の三角形それぞれが黄色の 1 / 8 23 / 83 1 / 64 取り尽くし法 を用いて、放物領域の面積（Area）は
Area
=
T
+
1
4
T
+
1
4
2
T
+
1
4
3
T
+
⋯
{\displaystyle {\text{Area}}\;=\;T\,+\,{\frac {1}{4}}T\,+\,{\frac {1}{4^{2}}}T\,+\,{\frac {1}{4^{3}}}T\,+\,\cdots }
で求まる。ここで T は大きい青色の三角形の面積を表し、第2項は緑色の面積の総和、第3項は黄色の面積の総和と続く。これを簡素にまとめて
Area
=
(
1
+
1
4
+
1
16
+
1
64
+
⋯
)
T
{\displaystyle {\text{Area}}\;=\;\left(1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \right)T}
となる。
アルキメデスによる 1 / 4 1 / 16 1 / 64 1 / 3 証明を完成させるために、アルキメデスは
1
+
1
4
+
1
16
+
1
64
+
⋯
=
4
3
{\displaystyle 1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {4}{3}}}
だと示している。上記の公式は等比級数 、すなわちそれぞれの項は前項の四分の一となっている。現代的に言えば、この公式は等比級数の和の公式 の特殊例である。
アルキメデスは、上記の画像に描かれたような完全な幾何的手法を用いて和を評価している[ 注釈 2]
1
4
+
1
16
+
1
64
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots }
である。ここで、紫色の正方形は隣接する2つの黄色の正方形と合同であるから、単位正方形の面積の 1 / 3 1 + 1 / 3 4 / 3 より) 4 / 3
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^ 定義より、緑色の三角形は青色の 1 / 2 解析幾何学 によって容易に証明できる。
^ 厳密に言えば、アルキメデスは級数の部分和 を評価しており、アルキメデスの性質 より 4 / 3
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