七円定理

七円定理

幾何学における、七円定理（なな（しち）えんていり、英語: seven circles theorem）はユークリッド平面上の7つの円に関する定理である。 6つの円O₁,O₂,O₃,O₄,O₅,O₆がそれぞれ隣り合う2つの円とそれぞれ接し、また6つの円すべてが1つの円O₇と（内部または外部で）接しているとする。O₇との接点と6つの円について反対の円（隣り合う円とも隣り合わない円）とO₇の接点を結んだ直線延べ3本は共点である。1974年、EvelynとMoney-CouttsとTyrrellによって、初等幾何学的な証明が発見された。

証明

スタンレー・ラビノヴィッツ（Stanley Rabinowitz）の6円が内部にある場合の証明を紹介する。

補題

以下の補題を使用する。

・弦のチェバの定理:ある円の弦A₁A₄,A₂A₅,A₃A₆が一点Pで交わることと、A₁A₂・A₃A₄・A₅A₆ = A₂A₃・A₄A₅・A₆A₁が成り立つことは同値。

円周角の定理と三角形の相似から

${\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{A_{4}A_{5}}}={\frac {A_{1}P}{A_{5}P}},{\frac {A_{3}A_{4}}{A_{6}A_{1}}}={\frac {A_{3}P}{A_{1}P}},{\frac {A_{5}A_{6}}{A_{2}A_{3}}}={\frac {A_{5}P}{A_{3}P}}}$

が成り立つので、辺々掛けて示される。

・中心をC₁,C₂、半径をr₁,r₂とする円O₁,O₂がMで外接し、また中心C、半径Rの円OとそれぞれA₁A₂で接するとき

${\displaystyle {\frac {{A_{1}A_{2}}^{2}}{4R^{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{(R-r_{1})(R-r_{2})}}}$

が成立する。

A₁M,A₂Mと円Oの二つ目の交点をD,Eとする。△C₁A₁M,△CA₁Dは一つの角を共有し、また二等辺三角形なので、相似でC₁M//CDが従う。同様に、C₂M//CEが従い、C₁,C₂Mの共線よりD,C,Eは共線である。ところで円周角の定理と三角形の相似から、

${\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{DE}}={\frac {A_{1}M}{ME}}={\frac {A_{2}M}{MD}}}$

である。D,C,Eの共線よりDEはOの直径であり、

${\displaystyle {\frac {{A_{1}A_{2}}^{2}}{4R^{2}}}={\frac {{A_{1}A_{2}}^{2}}{{DE}^{2}}}={\frac {A_{1}M\cdot A_{2}M}{ME\cdot MD}}={\frac {A_{1}M\cdot A_{2}M}{MD\cdot ME}}={\frac {r_{1}r_{2}}{(R-r_{1})(R-r_{2})}}}$

と変形して、示される。

本題

6円O_i , i={1,2,...,6}とO₇の接点をそれぞれA_iとする。二つ目の補題より

${\displaystyle A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}=8R^{3}{\sqrt {\prod _{i=1}^{6}{\frac {r_{i}}{R-{r_{i}}}}}}=A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5}\cdot A_{6}A_{1}}$

なので、一つ目の補題より、A₁A₄,A₂A₅,A₃A₆は一点で交わる。

6つの円が外部にある場合は分母がR+r_iとなるだけで、同様に証明できる。

関連項目

• 五円定理
• 六円定理
• 八円定理
• 九円定理
• シュタイナー円鎖
• ラムゼーの定理
• ミケルの定理
• ダオの六円定理（オランダ語版）
• クリフォードの定理
• ブリアンションの定理

参考文献

• Cundy, H. Martyn (1978). “The seven-circles theorem”. The Mathematical Gazette 62 (421): 200–203. doi:10.2307/3616692. JSTOR 3616692. 
• Evelyn, C. J. A.、Money-Coutts, G. B.、Tyrrell, J. A.『The Seven Circles Theorem and Other New Theorems』Stacey International、London、1974年。ISBN 978-0-9503304-0-2。https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/seven-circles-theorem-and-other-new-theorems-by-c-j-a-evelyn-g-b-moneycoutts-and-j-a-tyrrell-pp-viii-68-280-1974-sbn-0-950-3304-ox-stacey-international/0D651BCF5B021542D4A4BAA4FCA3BDA1。 
• Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 227–228. ISBN 0-14-011813-6. https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/227 
• “A Hyperbolic View of the Seven Circles Theorem”. arxiv. 2024年6月30日閲覧。
• Adam Brown (2003). “A Connection between Brianchon's Theorem and the Seven Circles Theorem”. The Mathematical Gazette (Vol 87): 569-572. https://www.jstor.org/stable/3621313. 
• the Seven Circles Theorem by Stanley Rabinowitz, with a proof based on Ceva's theorems.

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Seven Circles Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
• Interactive Applet by Michael Borcherds showing The Seven Circles Theorem made using GeoGebra.
• Seven Circles Theorem at Cut-the-knot.