一般化線形モデル

一般化線形モデル (いっぱんかせんけいモデル、英: Generalized linear model、GLM)は、残差を任意の分布とした線形モデル。似たものとして一般線形モデルがあるが、これは残差が多変量正規分布に従うモデル。一般化線形モデルには線形回帰、ポアソン回帰、ロジスティック回帰などが含まれる。1972年にネルダーとウェダーバーンによって提唱された[1]。

概要

確率変数 ${\displaystyle Y}$ が指数型分布族である、つまり確率密度関数 ${\displaystyle f(y)}$ は正準 (canonical) パラメーター ${\displaystyle \theta }$, 分散 (dispersion) パラメーター ${\displaystyle \phi }$ とスカラー関数 ${\displaystyle a(\theta )}$, ${\displaystyle c(y,\,\theta )}$ を用いて指数型

${\displaystyle f(y;\theta ,\phi )=\exp \left\{{\frac {y\,\theta -a(\theta )}{\phi }}+c(y,\phi )\right\}}$

で表すことができるものとする。

一般化線形モデルでは、指数型分布族の正準パラメーター ${\displaystyle \theta }$ について滑らかであるリンク関数 (link function) と呼ばれる関数 ${\displaystyle g(\theta )}$ が、別の確率変数 ${\displaystyle \mathbf {X} }$ の実現値 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ を用いて、${\displaystyle g(\theta )=\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }}}$ と表せるものとする。

一般化線型モデルは下記の3つの要素から構成される。

1. 指数型分布族の確率分布

2. 線形予測子 (linear predictor) ${\displaystyle \eta =\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\beta }}}$

3. リンク関数 (link function) ${\displaystyle g}$ such that ${\displaystyle g(\theta )=\eta }$

指数分布族の性質

下記のように尤度関数を定める。

${\displaystyle L\equiv \log {f(y;\theta ,\phi )}={\frac {y\,\theta -a(\theta )}{\phi }}+c(y,\phi )}$

このとき、下記等式が成立する。

${\displaystyle E\left({\frac {\partial L}{\partial \theta }}\right)=0,\;E\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial \theta ^{2}}}\right)=-E\left({\frac {\partial L}{\partial \theta }}\right)^{2}}$

この等式を用いて計算すると、確率変数 ${\displaystyle Y}$ の平均は ${\displaystyle a'(\theta )}$、分散は ${\displaystyle \phi \,a''(\theta )}$ であることが分かる。

下記の他、多くの確率分布が指数分布族に分類される。

• 正規分布
• ベルヌーイ分布
• ポアソン分布
• 二項分布
• ガウス分布

実例

正規分布に従うモデル

既知の値 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ を用いて ${\displaystyle a(\theta )=\theta ^{2}/2}$, ${\displaystyle \phi =\sigma ^{2}}$, ${\displaystyle c(y,\,\phi )=-\left(y^{2}/\sigma ^{2}+\log {2\pi \sigma ^{2}}\right)/2}$ と表されるとき、${\displaystyle f(y;\theta )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {\left(-{\frac {(y-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}}$ は平均 ${\displaystyle \theta }$, 分散 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ の正規分布に相当する。

リンク関数として ${\displaystyle g(\theta )=\theta }$ (正準リンク<canonical link>とよぶ) を取るとき、これは、正規線型モデル (通常の線型回帰) に相当する。平均 ${\displaystyle \theta }$ は ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }}}$ で与えられる。

ベルヌーイ分布に従うモデル

${\displaystyle p=e^{\theta }/(1+e^{\theta })}$ を用いて ${\displaystyle a(\theta )=-\log {(1-p)}}$, ${\displaystyle \phi =1}$, ${\displaystyle c=0}$ と表されるとき、${\displaystyle f(y;\theta )=p^{y}(1-p)^{1-y}}$ は生起確率 ${\displaystyle p}$ のベルヌーイ分布に相当する。

リンク関数として ${\displaystyle g(\theta )=\theta }$ を取るとき、これはロジスティック回帰モデル (logistic regression model) に相当する。${\displaystyle Y=1,0}$ の確率は、それぞれ、

${\displaystyle P(Y=1\mid \mathbf {x} )={\frac {\exp {(\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})}}{1+\exp {(\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})}}}}$

${\displaystyle P(Y=0\mid \mathbf {x} )={\frac {1}{1+\exp {(\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})}}}}$

で与えられる。

リンク関数として ${\displaystyle g(\theta )=\psi ^{-1}(p)}$ (ただし、${\displaystyle \psi }$ は標準正規分布の累積分布関数) を取るとき、これはプロビット回帰モデルに相当する。${\displaystyle p=\psi (\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})}$となる。

パラメーターの決定には、ニュートン法を用いた最尤法などがある。

脚注

1. Nelder, John; Wedderburn, Robert (1972). “Generalized Linear Models”. Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General) (Blackwell Publishing) 135 (3): 370–384. doi:10.2307/2344614. JSTOR 2344614. 

参考文献

• McCullagh, Peter; Nelder, John (1989). Generalized Linear Models, Second Edition. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. ISBN 0-412-31760-5 
• Henrik Madsen and Poul Thyregod (2011). Introduction to General and Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-4200-9155-7 
• Julia でデータサイエンス 一般化線形モデルにおける各種診断プロットの描画法の Julia コード

関連項目

• 一般線形モデル
• 混合モデル
• 一般化線形混合モデル