ロジスティック回帰

ロジスティック回帰（ロジスティックかいき、英: Logistic regression）は、ベルヌーイ分布に従う変数の統計的回帰モデルの一種である。連結関数としてロジットを使用する一般化線形モデル (GLM) の一種でもある。1958年にデイヴィッド・コックスが発表した[1]。確率の回帰であり、統計学の分類に主に使われる。医学や社会科学でもよく使われる^[要出典]。

モデルは同じく1958年に発表された単純パーセプトロンと等価であるが、scikit-learnなどでは、パラメータを決める最適化問題で確率的勾配降下法を使用する物をパーセプトロンと呼び、座標降下法や準ニュートン法などを使用する物をロジスティック回帰と呼んでいる。

概要

ロジスティック回帰モデルは以下のような形式である。x が入力で、pが確率（出力）、αとβがパラメータ。

${\displaystyle \operatorname {logit} (p_{i})=\ln \left({\frac {p_{i}}{1-p_{i}}}\right)=\alpha +\beta _{1}x_{1,i}+\cdots +\beta _{k}x_{k,i},}$
${\displaystyle i=1,\dots ,n,\,\!}$

ここで、n 個のユニットと共変動 X があり、以下のような関係にある。

${\displaystyle p_{i}=E(Y|X_{i})=\Pr(Y_{i}=1).\,\!}$

結果のオッズ（1から確率を引いたもので確率を割った値）の対数は、説明変数 X_i の線形関数としてモデル化される。これを次のようにも表せる。

${\displaystyle p_{i}=\Pr(Y_{i}=1|X)={\frac {1}{1+e^{-(\alpha +\beta _{1}x_{1,i}+\cdots +\beta _{k}x_{k,i})}}}}$

単純パーセプトロンの記法を使うと上記の式は以下のようにも表現できる。${\displaystyle \varsigma _{1}}$ は標準シグモイド関数。

${\displaystyle p_{i}=\varsigma _{1}(\alpha +\beta _{1}x_{1,i}+\cdots +\beta _{k}x_{k,i})}$

パラメータの推定はオッズ比に重大な影響がある。性別のような2値の説明変数の場合、${\displaystyle e^{\beta }}$ は例えば男性と女性の結果のオッズ比の推定である。推定には最尤法を使うことが多い。

このモデルの拡張として多分割（polytomous）ロジスティック回帰がある。複数カテゴリの従属変数や順序のある従属変数を扱う。ロジスティック回帰による階層分けを多項ロジットモデルと呼ぶ。

応用

社会科学分野での典型的な応用として、企業の過去のデータをもとに信用リスクを推定するという用法がある。

2値ロジスティック回帰はダイレクトマーケティングでよく使われ、ある提案に反応する人々を特定するのに使われる（従属変数は「反応する=1」と「反応しない=0」である）。ダイレクトマーケティングの2値ロジスティック回帰モデルは「リフトチャート」を使って評価される。これは、過去のメールへの反応のデータとモデルによる予測結果を比較する。

例

ロジスティック回帰モデルは一般化線形モデルの一種である。p(x) が、予測値変数 x について成功の確率を表すとすると、次のように表される。

${\displaystyle p(x)={\frac {e^{B_{0}+B_{1}x}}{1+e^{B_{0}+B_{1}x}}}.}$

代数的操作を施すと次のようになる。

${\displaystyle {\frac {p(x)}{1-p(x)}}=e^{B_{0}+B_{1}x},}$

ここで、${\displaystyle {\frac {p(x)}{1-p(x)}}}$ は成功のオッズである。ここで、例えば p(50) が 2/3 となる場合であるとして計算してみると

${\displaystyle {\frac {p(50)}{1-p(50)}}={\frac {\frac {2}{3}}{1-{\frac {2}{3}}}}=2.}$

したがって、x = 50 のとき、成功の可能性は失敗の2倍（オッズが 2 対 1 ）である。

脚注

1. Cox, DR (1958). “The regression analysis of binary sequences (with discussion)”. J Roy Stat Soc B 20: 215–242. 

参考文献

• Agresti, Alan, Categorical Data Analysis, 2nd ed., New York: Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-36093-7.
• Amemiya, T., Advanced Econometrics, Harvard University Press, 1985, ISBN 0-674-00560-0.
• Balakrishnan, N., Handbook of the Logistic Distribution, Marcel Dekker Inc., 1991, ISBN 0824785878.
• Green, William H., Econometric Analysis, fifth edition, Prentice Hall, 2003, ISBN 0-13-066189-9.
• Hosmer, David W. and Stanley Lemeshow, Applied Logistic Regression, 2nd ed., New York; Chichester, Wiley, 2000, ISBN 0-471-35632-8.

関連項目

• ニューラルネットワーク
• データマイニング
• 判別分析
• パーセプトロン
• 線形分類器

外部リンク

• Web-based logistic regression calculator
• 「ロジスティック回帰分析」入門 鳥居稔（大阪大学）