q = 1, …, 20q ≤ 10p / q q の値ごとに色分けしている。それぞれの円は基準線および隣り合う円に接している。同じ分母を持つ既約分数は同じ大きさの円を持つ。(画像を大きなサイズで見たい場合クリック) 数学において、フォードの円 （英 : Ford circle
(
p
q
,
1
2
q
2
)
{\displaystyle \left({\frac {p}{q}},{\frac {1}{2q^{2}}}\right)}
1
2
q
2
{\displaystyle {\frac {1}{2q^{2}}}}
p / q p , q 互いに素 な整数。それぞれのフォードの円は水平軸 y = 0[ 1]
フォードの円は、互いに外接しており、基準線 (y = 0アポロニウスの問題 やアポロニウスのギャスケット などに名が残るペルガのアポロニウス によって研究された[ 2] ルネ・デカルト が、互いに接する円の半径の逆数間の関係に関するものであるデカルトの定理 を発見した[ 2]
フォードの円は日本の和算 の算額 にも登場する。このうち代表的な問題として、1824年の群馬県 の算額にて出題されたものが挙げられる。この問題は共通の接線を持ち互いに外接する3つの円に関するものである。この問題は2つの外接する円が与えられているとき、その2つの円と共通外接線の中に外接する小さな円の大きさを答えよというものであった。この問題の答えはフォードの円に等しい[ 3]
1
r
middle
A
=
1
r
left
A
+
1
r
right
A
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r_{\text{middle}}{\vphantom {A}}}}}={\frac {1}{\sqrt {r_{\text{left}}{\vphantom {A}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {r_{\text{right}}{\vphantom {A}}}}}.}
フォードの円は1938年にフォードの円について言及したアメリカの数学者レスター・フォード （英語版 ） [ 1]
分数 p / q
C
[
p
q
]
{\displaystyle C\left[{\frac {p}{q}}\right]}
C
[
p
,
q
]
{\displaystyle C[p,q]}
y = 1y = 10 / 1 無限大 のフォードの円であると考えられるためである。
異なる2つのフォードの円は、互いに共有点を持たない か外接している かのどちらかである。x 軸上の有理数である点には、1つのフォードの円が接している。0 と 1 の間の p / q
C
[
p
q
]
{\displaystyle C\left[{\frac {p}{q}}\right]}
円
C
[
r
s
]
{\displaystyle C\left[{\frac {r}{s}}\right]}
|
p
s
−
q
r
|
=
1
{\displaystyle |ps-qr|=1}
[ 1]
ファレイ数列 において、分数 p / q r / s Stern–Brocot tree （英語版 ） r / s p / q
C
[
r
s
]
{\displaystyle C\left[{\frac {r}{s}}\right]}
p / q r / s
C
[
r
s
]
{\displaystyle C\left[{\frac {r}{s}}\right]}
[ 1] フォードの円はまた複素平面 上の曲線としても考えられる。複素平面の変換のモジュラー群 はフォードの円をフォードの円へと写す[ 1]
複素平面の上半平面を双曲平面 のモデル（ポワンカレの上半平面モデル ）と解釈することで、フォードの円はホロサイクル （英語版 ） タイリング とも解釈することができる。任意の 2 つのフォードの円は双曲幾何学において合同 である[ 4]
C
[
p
q
]
{\displaystyle C\left[{\frac {p}{q}}\right]}
C
[
r
s
]
{\displaystyle C\left[{\frac {r}{s}}\right]}
(
p
q
,
0
)
{\displaystyle \left({\frac {p}{q}},0\right)}
(
r
s
,
0
)
{\displaystyle \left({\frac {r}{s}},0\right)}
x 軸に垂直な半円は双曲的直線であり、この双曲的直線は2つの円の接点も通る。
フォードの円は y = 0, y = 1
C
[
0
1
]
{\displaystyle C\left[{\frac {0}{1}}\right]}
[ 5]
フォードの円（円板）の面積、オイラーのトーシェント関数
φ
{\displaystyle \varphi }
リーマンゼータ関数
ζ
{\displaystyle \zeta }
アペリーの定数
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
[ 6]
{
C
[
p
,
q
]
:
0
<
p
q
≤
1
,
(
p
,
q
)
=
1
}
{\displaystyle \left\{C[p,q]:0<{\frac {p}{q}}\leq 1,\,(p,q)=1\right\}}
は、どの2つも交わらないので、総面積は 1 よりも小さい。ゆえにフォードの円の総面積は収束し、その総面積は
A
=
∑
q
≥
1
∑
(
p
,
q
)
=
1
1
≤
p
≤
q
π
(
1
2
q
2
)
2
{\displaystyle A=\sum _{q\geq 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p\leq q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}}
である。この式を単純化することで次の式を得る。
A
=
π
4
∑
q
≥
1
1
q
4
∑
(
p
,
q
)
=
1
1
≤
p
≤
q
1
=
π
4
∑
q
≥
1
φ
(
q
)
q
4
=
π
4
ζ
(
3
)
ζ
(
4
)
,
{\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p\leq q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},}
ただし、最後の等号はオイラーのトーシェント関数
φ
(
q
)
{\displaystyle \varphi (q)}
母関数としてのディリクレ級数 を反映している。
ζ
(
4
)
=
π
4
90
{\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
A
=
45
2
ζ
(
3
)
π
3
≈
0.872284041.
{\displaystyle A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.}
^ a b c d e Ford, Lester R (1938), “Fractions ”, The American Mathematical Monthly 45 (9): 586-601, doi :10.2307/2302799 , MR 1524411
^ a b Coxeter, H. S. M. (1968), “The problem of Apollonius”, The American Mathematical Monthly 75 : 5-15, doi :10.2307/2315097 , MR 0230204
^ Fukagawa, Hidetosi; Pedoe, Dan (1989), Japanese temple geometry problems , Winnipeg, MB: Charles Babbage Research Centre, ISBN 0-919611-21-4 , MR 1044556 ^ Conway, John H. (1997), The sensual (quadratic) form , Carus Mathematical Monographs, 26 , Washington, DC: Mathematical Association of America, pp. 28-33, ISBN 0-88385-030-3 , MR 1478672 ^ Graham, Ronald L.; Lagarias, Jeffrey C.; Mallows, Colin L.; Wilks, Allan R.; Yan, Catherine H. (2003), “Apollonian circle packings: number theory”, Journal of Number Theory 100 (1): 1-45, arXiv :math.NT/0009113 , doi :10.1016/S0022-314X(03)00015-5 , MR 1971245 ^ Marszalek, Wieslaw (2012), “Circuits with oscillatory hierarchical Farey sequences and fractal properties”, Circuits, Systems and Signal Processing 31 (4): 1279-1296, doi :10.1007/s00034-012-9392-3
![{\displaystyle C\left[{\frac {p}{q}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b60ae86d9b0f1cfaffaaad650e1eac6b5ecf87)
![{\displaystyle C[p,q]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e6d3d351bb19dffd236f9c5419ea1068ed483de)
![{\displaystyle C\left[{\frac {r}{s}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca74e37e682ed5f75f2a579cad6c94e2c8128d8a)
![{\displaystyle C\left[{\frac {0}{1}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7397ba08e0699de22950396090739e7ae613c81a)
![{\displaystyle \left\{C[p,q]:0<{\frac {p}{q}}\leq 1,\,(p,q)=1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e13b0c1896ae696ff96b2f6689810a39a2d56b0)
