配置空間の2つの領域を分けるポテンシャル障壁を持つエネルギー地形（下図）において、好ましいエネルギー構造（上図）と比較して、モンテカルロサンプル法は熱力学データを精確に計算するために十分な配置範囲全体にわたって系をサンプリングできない。 アンブレラサンプリング法 （アンブレラサンプリングほう 英 : Umbrella sampling 、傘サンプリング とも[ 1] 計算物理学 および計算化学 の手法の一つであり、エネルギー地形 の形状によってエルゴード性 が妨げられる系のサンプリング を改善するために用いられる。1977年に、TorrieおよびValleauによって初めて提案された[ 2] 重点サンプリング法 の特別な物理学的応用である。
エネルギー障壁が配置空間の2つの領域を隔てている系では、不十分なサンプリングに悩まされる。メトロポリス・モンテカルロ シミュレーションでは、ポテンシャル障壁を乗り越える低い確率は、シミュレーションによって不十分にサンプリングされる、または全くサンプリングされない到達しにくい配置が残る可能性がある。容易に思い浮かべられる例は融点における固体で起こる。秩序パラメータ Q を持つ系の状態を考えると、液相（低いQ ）と固相 （高い Q ）のどちらもエネルギー的に低いが、Q の中間の値での自由エネルギー 障壁によって隔てられている。これによって両方の相の十分なサンプリングをシミュレーションで行うことができない。
アンブレラサンプリング法はこの状況における困難を乗り越える方法の一つである。この方法では、モンテカルロサンプリングで標準的に用いられるボルツマン重み付けを、エネルギー障壁の影響を打ち消すよう選ばれた重みに置き換える。生成されたマルコフ連鎖 は、以下の式で与えられる確率分布を持つ。
π
(
r
N
)
=
w
(
r
N
)
exp
(
−
U
(
r
N
)
k
B
T
)
∫
w
(
r
′
N
)
exp
(
−
U
(
r
′
N
)
k
B
T
)
d
r
′
N
,
{\displaystyle \pi (\mathbf {r} ^{N})={\frac {w({\textbf {r}}^{N})\exp {\left(-{\frac {U(\mathbf {r} ^{N})}{k_{B}T}}\right)}}{\int {w(\mathbf {r^{\prime }} ^{N})\exp {\left(-{\frac {U(\mathbf {r^{\prime }} ^{N})}{k_{B}T}}\right)}d\mathbf {r^{\prime }} ^{N}}}},}
上式において、U は真のポテンシャルエネルギー、w (r N w は w = w (Q )Q で高い値、低い/高い Q で低い値を取り、障壁の乗り越えを容易にするように選ばれる。
このようなやり方で行われるサンプリング実行から推定される熱力学特性 A は以下の式によってカノニカルアンサンブル値へと変換できる。
⟨
A
⟩
=
⟨
A
/
w
⟩
π
⟨
1
/
w
⟩
π
{\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {\langle A/w\rangle _{\pi }}{\langle 1/w\rangle _{\pi }}}}
添字 π はアンブレラサンプリングされたシミュレーションからの値であることを示している。
重み関数 w (r N V (r N
V
(
r
N
)
=
−
k
B
T
ln
w
(
r
N
)
{\displaystyle V(\mathbf {r} ^{N})=-k_{B}T\ln w(\mathbf {r} ^{N})}
バイアスポテンシャルが厳密に反応座標または秩序パラメータ Q の関数ならば、次に反応座標の（バイアスのない）自由エネルギープロファイルはバイアスを受けた自由エネルギープロファイルからバイアスポテンシャルを差し引くことで計算できる。
F
0
(
Q
)
=
F
π
(
Q
)
−
V
(
Q
)
{\displaystyle F_{0}(Q)=F_{\pi }(Q)-V(Q)}
上式において、 F 0 (Q )F π Q )
一連のアンブレラサンプリングシミュレーションは重み付きヒストグラム解析法（weighted histogram analysis method, WHAM ）[ 3] [ 4] 最尤法 を使って導くことができる。
平均力ポテンシャル または反応速度 を計算するためのアンブレラサンプリング法に代わる方法としては、自由エネルギー摂動法 と遷移インターフェースサンプリング法 （英語版 ）
^ 政宏, 清水、祐幸, 岡本「レプリカ交換傘サンプリング法による陽溶媒中のモルテングロビュール状態球状タンパク質の構造探索 」『日本物理学会講演概要集』第73.1巻第0号、2018年、3136–3136頁、doi :10.11316/jpsgaiyo.73.1.0_3136 。 ^ Torrie, G. M.; Valleau, J. P. (1977). “Nonphysical sampling distributions in Monte Carlo free-energy estimation: Umbrella sampling”. J. Comput. Phys. 23 (2): 187-199. doi :10.1016/0021-9991(77)90121-8 . ^ Kumar, Shankar; Rosenberg, John M.; Bouzida, Djamal; Swendsen, Robert H.; Kollman, Peter A. (30 September 1992). “THE weighted histogram analysis method for free-energy calculations on biomolecules. I. The method”. Journal of Computational Chemistry 13 (8): 1011–1021. doi :10.1002/jcc.540130812 . ^ Bartels, C (7 December 2000). “Analyzing biased Monte Carlo and molecular dynamics simulations”. Chemical Physics Letters 331 (5-6): 446–454. Bibcode : 2000CPL...331..446B . doi :10.1016/S0009-2614(00)01215-X .
