Prodotto delle giovanili del Rosenborg, Skjerve è passato all'Haugesund con la formula del prestito in vista del campionato 2008, in 1. divisjon. Ha esordito nel nuovo club il 6 aprile dello stesso anno, disputando da titolare la sfida vinta per 3-1 sul Notodden.[1] Il 27 luglio successivo ha segnato la sua prima rete da professionista: ha siglato infatti il gol del momentaneo 1-1 in casa del Moss, con il match che si è concluso poi con un successo dell'Haugesund per 2-4.[2]
Al termine della stagione, è stato riscattato dallo stesso Haugesund. È rimasto così in squadra anche nella 1. divisjon 2009 e ha contribuito alla vittoria della stessa e alla conseguente promozione in Eliteserien con 28 apparizioni e 3 reti. L'anno seguente ha avuto così l'opportunità di debuttare nella massima divisione locale: il 13 marzo 2010 è stato quindi impiegato da titolare nel pareggio per 0-0 in casa del Brann.[3] Il 31 ottobre 2012 ha rinnovato il contratto che lo legava al club fino al 31 dicembre 2015.[4]
In virtù del piazzamento del campionato 2013, l'Haugesund si è qualificato per l'Europa League 2014-2015: Skjerve ha così potuto esordire nella manifestazioni internazionali per club in data 3 luglio 2014, schierato titolare nell'andata del primo turno di qualificazione alla stessa, partita disputata in casa dell'Airbus UK Broughton.[5]
Il 30 aprile 2015 ha trovato la prima rete in Eliteserien, con cui ha contribuito al successo per 1-2 sul campo del Bodø/Glimt.[6] Il 29 maggio successivo ha ulteriormente prolungato l'accordo con l'Haugesund, fino al 31 dicembre 2018.[7] In vista del campionato 2016, Skjerve – che era capitano della squadra – ha perso la fascia in favore di William Troost-Ekong, per decisione dell'allenatore Mark Dempsey.[8][9]
Il 12 agosto 2013, Skjerve è stato convocato nella Norvegia Under-23 in vista di una partita valida per l'International Challenge Trophy da disputarsi contro la Turchia.[11] Il 14 agosto è stato così schierato titolare nella sfida, pareggiata per 0-0.[12]
