Teorema di Milman

In matematica, in particolare, in geometria convessa asintotica, il teorema di Milman, o disuguaglianza di Brunn-Minkowski inversa, è un risultato dovuto a Vitali Milman[1] che corrisponde ad una disuguaglianza inversa rispetto alla famosa disuguaglianza di Brunn-Minkowski per corpi convessi nello spazio euclideo n-dimensionale R^n. In pratica, essa limita superiormente il volume della somma di Minkowski di due corpi in termini dei volumi dei corpi stessi.

Introduzione

Siano K ed L corpi convessi in R^n. La disuguaglianza di Brunn-Minkowski sancisce che

${\displaystyle \mathrm {vol} (K+L)^{1/n}\geq \mathrm {vol} (K)^{1/n}+\mathrm {vol} (L)^{1/n}~,}$

dove vol denota la misura di Lebesgue n-dimensionale e il + al membro sinistro denota la somma di Minkowski.

In generale, no reverse bound is possible, poiché si possono trovare corpi convessi K ed L di volume unitario tali che il volume della loro somma di Minkowski è arbitrariamente grande. Il teorema di Milman stabilisce che è possibile sostituire uno dei corpi con la sua immagine mediante una trasformazione lineare che conservi il volume opportunamente scelta in modo che il membro sinistro della disuguaglianza di Brunn-Minkowski sia limitato da una costante multipla del membro destro.

Il risultato è uno dei principali teoremi strutturali nella teoria locale degli spazi di Banach.[2]

Enunciato della disuguaglianza

Esiste una costante C, indipendente da n, tale che, per ogni coppia di corpi convessi, che presentino una simmetria centrale, K ed L in R^n, è possibile trovare delle trasformazioni lineari che conservano il volume φ e ψ da R^n a sé stesso tali che per ogni coppia di numeri reali s, t > 0 si ha

${\displaystyle \mathrm {vol} (s\,\varphi K+t\,\psi L)^{1/n}\leq C\left(s\,\mathrm {vol} (\varphi K)^{1/n}+t\,\mathrm {vol} (\psi L)^{1/n}\right)~.}$

Una delle trasformazioni potrebbe essere scelta per essere l'identità.[2]

Note

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Bibliografia

• Vitali D. Milman, Inégalité de Brunn-Minkowski inverse et applications à la théorie locale des espaces normés. [An inverse form of the Brunn-Minkowski inequality, with applications to the local theory of normed spaces], in C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., vol. 302, n. 1, 1986, pp. 25–28, MR 0827101.
• Gilles Pisier, The volume of convex bodies and Banach space geometry, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 94, Cambridge, Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36465-5, MR 1036275.

Voci correlate

• Teorema di Brunn-Minkowski