Superficie cartesiana esplicita

Una funzione ${\displaystyle z=f(x,y)}$ di classe ${\displaystyle C^{1}}$ definita nell'insieme aperto ${\displaystyle \Omega }$, rappresenta una superficie cartesiana esplicita.

Piano tangente

Se la superficie è differenziabile in tutti i punti ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ della superficie allora esiste il piano tangente:

${\displaystyle \zeta =f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x-x_{0})+f_{y}(y-y_{0})}$

Normale

Noto il piano tangente si possono definire due vettori normali[1]:

${\displaystyle {\vec {n}}=\pm \{f_{x},f_{y},-1\}}$

e quindi normalizzando otteniamo due versori normali:

${\displaystyle {\vec {n}}=\pm {\frac {\{f_{x},f_{y},-1\}}{\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}}}$

Area di una superficie cartesiana esplicita

L'area di una superficie cartesiana esplicita è data dalla somma di tutte le superfici infinitesime che vogliamo approssimino la nostra superficie. Al limite di queste superfici infinitesime che tendono a zero (o ugualmente al limite del numero di superfici infinitesime che tende all'infinito) la somma tende all'integrale:

${\displaystyle A(S)=\iint _{\Omega }{\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\,dxdy}$

Parametrizzazione

Qualsiasi superficie cartesiana esplicita si può parametrizzare:

${\displaystyle {\begin{cases}x=u\\y=v\\z=\phi (u,v)\end{cases}}}$

In tal modo valgono tutte le considerazioni fatte per le superfici parametriche.

Note

1. (EN) Weisstein, Eric W., Normal Vector, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 5 febbraio 2018.

Voci correlate

• Superficie parametrica
• Superficie cartesiana implicita
• Integrale multiplo
• Normale (superficie)