Sistema pi

In matematica, un sistema pi, o anche $\pi \;$ -sistema, su un insieme $\Omega \;$ è una famiglia P non vuota di sottoinsiemi di $\Omega \;$ (ovvero $P\subseteq$ ${\mathcal {P}}(\Omega )$ ), tale che l'intersezione di due elementi (e quindi di un numero finito di elementi) di P è ancora in P; ovvero P è stabile per intersezioni finite.

Proprietà

Se A è un'algebra di insiemi (in particolare se è una σ-algebra), allora A è un $\pi \;$ -sistema.
Se A è un $\pi \;$ -sistema che è anche un sistema Dynkin, allora A è una σ-algebra.

Unicità dell'estensione

Una misura finita è determinata unicamente dai suoi valori su di un $\pi \;$ -sistema, come afferma la seguente proposizione. Siano $\mu \;$ e $\nu \;$ misure su uno spazio misurabile $(X,\Sigma )\;$ e sia ${\mathcal {I}}$ un $\pi \;$ -sistema che generi $\Sigma \;$ . Se

$\mu (X)=\nu (X)<\infty$

$\mu |_{\mathcal {I}}=\nu |_{\mathcal {I}}$

allora $\mu =\nu \;$

Bibliografia

Allan Gut, Probability: A Graduate Course, New York, Springer, 2005, DOI:10.1007/b138932, ISBN 0-387-22833-0.
David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 2007, ISBN 0-521-40605-6.